Создание разностной схемы

[furdielaben]

Рассматривается

$\frac{1}{\rho}\frac{\partial u}{\partial \rho} + \frac{\partial^2 u}{\partial \rho^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial z^2} + \frac{4 u}{\sqrt{\rho^2 + (z - z_0)^2}} + V(\rho, z) u = \lambda u$

на равномерной сетке в области $\Omega = \left(\rho, z \right)= [0, L] \times [0, L]$, и $V(\Omega)$ — гладкая функция. Условия следующие:

$\frac{\partial u}{\partial \rho} \bigg|_{\rho = 0, z} = \begin{cases} 0 ,& z \neq z_0 \\ -q u , & z = z_0, \end{cases} $

$u \big|_{\partial \Omega \setminus \left(\rho=0, \, z \right)}= 0$

При создании разностной схемы возникла проблема в аппроксимации производных в окрестности $(\rho=0, \, z = z_0 )$. Например, для $V(\Omega) = 0$, в качестве точного решения можно взять $u = \exp \left(-2 \sqrt{\rho^2 + (z - z_0)^2} \right)$. В таком случае стандартные аппроксимации для производных в точке $(\rho=0, \, z = z_0 \pm h )$ и других, близких к $(\rho=0, \, z = z_0 )$, будут расходиться при $h \rightarrow 0$ т.к. при улучшении аппроксимации производной, аппроксимируемая производная будет постоянно возрастать.

Пробовал сделать аппроксимации точными для решения вида $u = \exp \left(-k \sqrt{\rho^2 + (z - z_0)^2} \right)$ в окрестности $(\rho=0, \, z = z_0)$, но я не вижу, как это можно превратить во что-то действительно работающее.

Также интересует обоснованность замены исходного уравнения на

$\frac{2}{\rho}\frac{\partial u}{\partial \rho} + \frac{\partial^2 u}{\partial \rho^2} + \frac{2 q u}{\rho} + V(\rho, z_0) u = \lambda u$

в $(\rho=0, \, z = z_0)$ (я просто предположил, что в в какой-то её окрестности решение является сферически симметричным).