Рассматривается
на равномерной сетке в области
![$\Omega = \left(\rho, z \right)= [0, L] \times [0, L]$ $\Omega = \left(\rho, z \right)= [0, L] \times [0, L]$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/3/2/3327fa62eb06232867b27b1f145ff33282.png)
, и

— гладкая функция. Условия следующие:
При создании разностной схемы возникла проблема в аппроксимации производных в окрестности

. Например, для

, в качестве точного решения можно взять

. В таком случае стандартные аппроксимации для производных в точке

и других, близких к

, будут расходиться при

т.к. при улучшении аппроксимации производной, аппроксимируемая производная будет постоянно возрастать.
Пробовал сделать аппроксимации точными для решения вида

в окрестности

, но я не вижу, как это можно превратить во что-то действительно работающее.
Также интересует обоснованность замены исходного уравнения на
в

(я просто предположил, что в в какой-то её окрестности решение является сферически симметричным).