Аналог окружности девяти точек для трёхмерного пространства

[Magog]

Здравствуйте. Хотелось бы прочитать про аналог окружности девяти точек для трёхмерного пространства для ортоцентрических тетраэдров.
Задача :
Дан ортоцентрический тетраэдр с ортоцентром h, с центром описаной сферы О с радиусом R и с бимедианой длины a.
а)Доказать что точки О и H симметричны относительно центра тяжести тетраэдра.
б)Доказать что центры тяжести граней лежат на одной сфере.
Вообще говоря совершенно нет идей как решать эту задачу. Если честно, то я даже не знаю где будет находиться центр сферы, описывающей тетраэдр.
Заранее спасибо.

[DeBill]

Magog в сообщении #1163557 писал(а):

совершенно нет идей как решать эту задачу.

А почему не попробовать - также, как двумерную?
Т.е., для а): сделать гомотетию относительно центра масс, с коэф-том "-1:3" (именно так он делит "медиану"). Она переведет большой тетраэдр в "половинный" - с вершинами в центрах масс граней. И - где центр описанной : он - точка пересечения "серединных перпендикуляров-плоскостей к ребрам", и проектируется в центры окружностей, описанных около граней. И т.д....
Про б)

Magog в сообщении #1163557 писал(а):

б)Доказать что центры тяжести граней лежат на одной сфере.

Так - неинтересно (любы 4 точки лежат на сфере). Интересно - "на той же".

(Оффтоп)

Запрос в яндексе про ортоцентрический тетраэдр немедленно выдает указания в том же духе, и целую кучу вспомогательно-обобщательно - близких задач. Например, про сферу 12 (24-х) точек...

[Magog]

DeBill

Большое вам спасибо, я уже сам нашёл задачу про 12 точек.
А, и, да, извините за оплошность - конечно же в пункте б говорилось о центрах масс и ортоцентрах граней.