Трансцендентное уравнение

[Лукомор]

Уравнение вида
$a^x+b^x=c^x$ ,
где $a, b, c$ - рациональные,
$x$ - действительное число.
Вопрос:
Есть ли какие-либо аналитические методы решения,
или только численные?

[Simple Fairy]

Лукомор в сообщении #1163486 писал(а):

Уравнение вида
$a^x+b^x=c^x$ ,
где $a, b, c$ - рациональные,
$x$ - действительное число.
Вопрос:
Есть ли какие-либо аналитические методы решения,
или только численные?

В общем случае, думаю, что только численно, а там все зависит от случая.

[arseniiv]

См. некоторое упрощение в http://dxdy.ru/post441698.html#p441698.

[Лукомор]

arseniiv в сообщении #1163503 писал(а):

См. некоторое упрощение в post441698.html#p441698
.

Посмотрел.
Не очень оптимистично, впрочем, мне большая точность не нужна, так что можно и численными методами.
Вообще-то это только часть проблемы, которую я хотел бы разрулить.
Проблема заключается в том, чтобы одним-единственным числом охарактеризовать степень отклонения произвольного треугольника от правильного треугольника.
Первое, что пришло в голову: отношение площади треугольника к периметру его:
$k=\frac{S}{P}$.
Затем, отношение радиусов описанной и вписанной окружностей:
$K=\frac{R}{r}$
И третий вариант в стартовом сообщении.
Больше вариантов у меня нет.
Может быть кто-то подскажет что-нибудь по теме?!

-- Чт окт 27, 2016 17:21:32 --

Кстати, в той теме, на которую здесь была ссылка, вот это вот мне непонятно:

Sonic86 в сообщении #441629 писал(а):

Делите все на $c^x$, далее - численными методами (будет не более 2-х решений).

Разве может быть два разных решения?
Я пока не встречал таких случаев...

[gris]

Два решения могут быть, если $a<c<b$. В этом случае аналитически можно найти минимум функции и определить количество корней.

[arseniiv]

Лукомор в сообщении #1163555 писал(а):

Проблема заключается в том, чтобы одним-единственным числом охарактеризовать степень отклонения произвольного треугольника от правильного треугольника.

А как это число предполагается использовать?

Можно ещё какую-нибудь симметричную (не важен порядок аргументов) функцию углов взять.

[Лукомор]

gris в сообщении #1163565 писал(а):

Два решения могут быть, если $a<c<b$. В этом случае аналитически можно найти минимум функции и определить количество корней.

Ага!
Это ускользнуло от моего внимания.
Я рассматривал только $a<b<c$.

-- Чт окт 27, 2016 23:20:37 --

arseniiv в сообщении #1163638 писал(а):

А как это число предполагается использовать?

Для сравнения треугольников по критерию "правильности", то-есть: "Какой из двух данных треугольников ближе к равностороннему?".

-- Чт окт 27, 2016 23:21:29 --

arseniiv в сообщении #1163638 писал(а):

Можно ещё какую-нибудь симметричную (не важен порядок аргументов) функцию углов взять.

Какую, например?

[arseniiv]

Лукомор в сообщении #1163650 писал(а):

Для сравнения треугольников по критерию "правильности", то-есть: "Какой из двух данных треугольников ближе к равностороннему?".

Ага. А сами результаты сравнения куда потом идут? Вдруг оттуда вытянутся требования к виду функции.

Лукомор в сообщении #1163650 писал(а):

Какую, например?

Ну, скажем, $|(\alpha-\pi/3)(\beta-\pi/3)(\gamma-\pi/3)|$. На равностороннем ноль, на вырожденном в отрезок — $\frac2{27}\pi^3$, на него и поделим для нормализации.

-- Пт окт 28, 2016 02:43:47 --

Или может быть лучше модуль другого симметрического многочлена от $\alpha_i-\pi/3$, или там сумма модулей разных таких.

[grizzly]

Лукомор в сообщении #1163555 писал(а):

Может быть кто-то подскажет что-нибудь по теме?!

Можно попытаться в гугле набрать что-то типа "равенство достигается только в равностороннем треугольнике" или какие-то похожие фразы. Думаю, можно быстро найти несколько сотен самых разнообразных по красоте и сложности отношений, которые могут быть использованы.

[VPro]

Лукомор в сообщении #1163486 писал(а):

Уравнение вида
$a^x+b^x=c^x$ ,
где $a, b, c$ - рациональные,
$x$ - действительное число.
Вопрос:
Есть ли какие-либо аналитические методы решения,
или только численные?

Сведем рассматриваемое уравнение к уравнению $p^x+q^x=1, p,q>0, (1)$
а его к уравнению $y^k=1-y\ \ \ (2) $,
где $y=p^k$, $y>0$, $k=\log_pq$.
Из вида правой и левой частей уравнения (2) следует, что при $k<0$ нет решения, при $k\ge 0$ одно положительное решение существует. Может быть и второе, но оно уже отрицательное и, в силу условия $ y>0 $, его следует отбросить. Оставшееся положительное решение обозначим через $y_0(k)$. Эта функция $k$ монотонно растет от 0 до 1 при изменении $k$ от 0 до $\infty$. График функции $y_0(k)$ будет похож на графики арктангенса или $1-\exp(-\alpha k^\beta)$.
Функция $y_0(k)$ не выражается в элементарных, но зато легко выразить обратную к ней: $k(y_0)=\frac{\ln(1-y_0)}{\ln y_0}$. Тем самым функция $y_0(k)$ описана качественно и количественно.
Окончательно, решение уравнения (1) отсутствует, если $\log_pq<0$ и имеет вид $x_0= \log_p\left[ y_0(\log_pq)\right]$ при $\log_pq\ge0$.

[Лукомор]

VPro в сообщении #1163975 писал(а):

Тем самым функция $y_0(k)$ описана качественно и количественно.

Спасибо!
Это здорово!
В ближайший понедельник все это уложу в голову,
и, видимо, будут еще вопросы...

-- Сб окт 29, 2016 09:04:27 --

grizzly в сообщении #1163671 писал(а):

Думаю, можно быстро найти несколько сотен самых разнообразных по красоте и сложности отношений, которые могут быть использованы.

Их слишком много!
И многие выходят за рамки моего разумения...

-- Сб окт 29, 2016 09:31:53 --

arseniiv в сообщении #1163655 писал(а):

А сами результаты сравнения куда потом идут? Вдруг оттуда вытянутся требования к виду функции.

Видимо, как обычно, в топку!
Хулиганская мысль посетила: В задаче о гравитационном взаимодействии трех тел,
эти три тела всегда образуют некий треугольник, иногда вырожденный,
непрерывно меняющий свою форму.
И если форме конкретного треугольника, в любой момент времени $t_i$,
сопоставить некоторое число $K_i$, эту форму треугольника тем или иным образом характеризующее,
то получим некоторую непрерывную функцию от времени $K=f(t)$, возможно даже и аналитическую (?).
Как-то так...

-- Сб окт 29, 2016 09:48:10 --

arseniiv в сообщении #1163655 писал(а):

Ну, скажем, $|(\alpha-\pi/3)(\beta-\pi/3)(\gamma-\pi/3)|$

Вот еще занятное соотношение:
$\frac{r}{R}=4\sin\frac{\alpha}{2}\sin\frac{\beta}{2}\sin\frac{\gamma}{2}=\cos\alpha+\cos\beta+\cos\gamma-1$,
отношение радиусов вписанной и описанной окружностей...

[gris]

Кстати, наверное, Ваш показатель должен быть равным у подобных треугольников? Тогда формулу с площадью и периметром лучше написать как $k=\dfrac S {p^2}$? (мне больше нравится полупериметр, он чаще используется).
И хотелось бы определить стандартное значение для правильного треугольника и общие свойства показателя. Например, что функция показателя ограничена нулём и единицей, равна единице для правильного треугольника, равна для подобных треугольников и т.д. Тогда можно сравнивать две функции-показатели и смотреть, какая пригоднее в конкретной ситуации. Впрочем, это мои фантазии.
А вот ещё мне понравились преобразования:

$k=\dfrac S {p^2}=\dfrac {\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}} {p^2}=\sqrt{(1-a/p)(1-b/p)(1-c/p)}$

$k=\dfrac S {p^2}=\dfrac {rp} {p^2}=\dfrac rp$

[arseniiv]

VPro в сообщении #1163975 писал(а):

Функция $y_0(k)$ не выражается в элементарных, но зато легко выразить обратную к ней: $k(y_0)=\frac{\ln(1-y_0)}{\ln y_0}$. Тем самым функция $y_0(k)$ описана качественно и количественно.

Ещё можно выразить её производные $n$-го порядка через производные меньших порядков (и её саму как производную нулевого порядка), так что можно найти ряд Тейлора, например, в 1, где значение функции равно $1/2$.

Лукомор в сообщении #1164026 писал(а):

И если форме конкретного треугольника, в любой момент времени $t_i$,
сопоставить некоторое число $K_i$, эту форму треугольника тем или иным образом характеризующее,
то получим некоторую непрерывную функцию от времени $K=f(t)$, возможно даже и аналитическую (?).
Как-то так...

А функцию куда, тоже в топку?

gris в сообщении #1164037 писал(а):

И хотелось бы определить стандартное значение для правильного треугольника и общие свойства показателя. Например, что функция показателя ограничена нулём и единицей, равна единице для правильного треугольника, равна для подобных треугольников и т.д. Тогда можно сравнивать две функции-показатели и смотреть, какая пригоднее в конкретной ситуации. Впрочем, это мои фантазии.

Кстати, можно попробовать придумать ограничение на показатели треугольников, два из которых являются разбиением третьего. Или связать их с аффинными преобразованиями, переводящими треугольник в правильный.

[B@R5uk]

Лукомор в сообщении #1163555 писал(а):

...впрочем, мне большая точность не нужна, так что можно и численными методами...

Простите, но как только вы заканчиваете с формулами и берёте в руки калькулятор, то любая аналитика превращается в численные методы. И точность они дают (при грамотном использовании, разумеется) любую наперёд заданную.

[gris]

arseniiv, треугольник с точностью до подобия разумно задать двумя параметрами, например, двумя ненаибольшими углами или их синусами (что изоморфно заданию двух ненаибольших сторон при наибольшей равной единице). И в этой системе координат плюс третья — коэффициент $L$ можно строить график. А на графике находить, скажем, линии уровня. Интересно знать, что это за треугольники, у которых площадь в три раза больше квадрата полупериметра, или радиус описанной окружности в пять раз больше радиуса вписанной. А почему бы не считать дисперсию сторон?