Предел. Прошу проверить решение.

[TR63]

Известно, что, если сходится ряд с положительными членами

$$a_1+a_2+\ldots+a_n+\ldots\le c$$

,
то сходится ряд

$$f=\frac{\sqrt{a_1}}{1}+\frac{\sqrt{a_2}}{2}+\ldots+\frac{\sqrt{a_n}}{n}+\ldots\le c_1$$

Вопрос.
Можно ли тогда считать, что существует $0<\alpha<1$, при котором $f\le n^\alpha<n$.
Я думаю, что да. Т.к., иначе ряд будет расходящийся. Противоречие. Тогда, если $0<\varphi(n)\le f$, то

$$\lim\limits_{n\to\infty}\frac{\varphi}{n}=0$$

Прошу указать ошибки, если таковые имеются.

[Brukvalub]

TR63 в сообщении #1162890 писал(а):

Прошу указать ошибки, если таковые имеются.

Ошибка есть, как минимум, одна. Текст написан столь коряво, что понять его разумным образом почти невозможно.

[TR63]

Brukvalub, наверно, всё-таки, не всё коряво. Часть текста переписана из учебника.
Вот,хотя бы это

TR63 в сообщении #1162890 писал(а):

Можно ли тогда считать, что существует $0<\alpha<1$, при котором $f\le n^\alpha<n$

верно или нет.

[Lia]

TR63
Боюсь, если Вы не наведете порядок в стартовом сообщении, ответа Вам придется ждать долго.
В учебнике такой уровень изложения чего бы то ни было трудно себе представить.
У Вас нет рядов. Если есть - какие? Вы не упомянули ни одного.
У Вас есть конечные суммы. Но тогда о расходимости чего Вы говорите?

Об остальном я пока не говорю, потому что преждевременно.
Исправьте текст, пожалуйста, до состояния, когда в нем можно будет что-то понять человеку постороннему.

[Brukvalub]

TR63, именно это и коряво. Например, неясно, требуется ли выполнимость неравенства одновременно для всех частичных сумм, или только финально. Если финально, то ответ "да" очевиден без каких-либо "доказательств", а если нужно выполнение неравенства одновременно для всех частичных сумм, то ответ "нет" тоже очевиден (я априори считал, что речь идет о частичных суммах рядов). Так что ссылки "на учебник" не катят.

[ewert]

TR63 в сообщении #1162892 писал(а):

Вот,хотя бы это

TR63 в сообщении #1162890 писал(а):

Можно ли тогда считать, что существует $0<\alpha<1$, при котором $f\le n^\alpha<n$

верно или нет.

Это верно при любой положительной альфе для всех достаточно больших эн, а для всех эн -- естественно, неверно ни для какой альфы (вообще говоря). Так и непонятно, чего Вы хотите.

[Lia]

TR63
Сейчас появились ряды, зато $f$ перестала зависеть от $n$.

[TR63]

Lia в сообщении #1162894 писал(а):

У Вас есть конечные суммы.

Исправила (невнимательно перепечатала).
ewert, Вашего ответа достаточно, чтобы закруглится с дальнейшими рассуждениями (раз \alpha в конечном итоге не существует; только мне не понятно, почему не существует; я думала, что тогда получается противоречие в виде расходящегося ряда, который по условию сходящийся).

[ewert]

TR63 в сообщении #1162902 писал(а):

только мне не понятно, почему не существует; я думала, что тогда получается противоречие в виде расходящегося ряда

Вам, судя по всему, непонятно другое -- смысл задаваемого Вами же вопроса. По умолчанию написанное Вами означает, что неравенство должно выполняться для всех номеров. В частности, должно быть $f_1\leqslant1$, т.е. $a_1\leqslant1$. А с какой стати?

[TR63]

ewert в сообщении #1162905 писал(а):

написанное Вами означает, что неравенство должно выполняться для всех номеров

Я считала, что оно выполняется в пределе (для всей суммы ряда). Правильно я поняла, что так считать нельзя? Или можно записать так:
Можно ли тогда считать, что существует $0<\alpha<1$, при котором $f\le k^\alpha$

[ewert]

TR63 в сообщении #1162925 писал(а):

Можно ли тогда считать, что существует $0<\alpha<1$, при котором $f\le k^\alpha$

Нельзя, т.к. $k$ не существует.

[Lia]

TR63
Сумма ряда, если он сходится - число. Правда ли, что число не превосходит какой-то степени абы какого натурального числа?
Ну вот $2$, с одной стороны, не превосходит $4^{1/2}$. С другой, больше чем $2^{1/2}$. Вы понимаете Ваш вопрос? Я нет.

[TR63]

Lia в сообщении #1162931 писал(а):

. Вы понимаете Ваш вопрос? Я нет.

Согласна, что вопрос следует уточнить:
Можно ли тогда считать, что существует $0<\alpha<1$, и (k) при котором $f\le k^\alpha$, $c_1=k^\alpha$
Даже, если эта запись корректна, в ней для решения задачи недостаточно информации.

[Brukvalub]

(Оффтоп)

Ужос какой-то, нет, не просто ужос, а УЖОС, УЖОС!, УЖОС! Так барахтаться в ванночке для новорожденных - это-ж уметь надо!

[TR63]

Brukvalub, теперь всё корректно записано? Вывод мною сделан верный? (Я ведь не математик и мнение специалиста мне важно; а, то, что для Вас УЖОС, пусть будет для меня самый большой УЖОС.)