Пространство интегрируемых функций

[Stasya7]

У меня в тетради с лекций записано: $L_\infty \subseteq L_p\subseteq L_q\subseteq L_1\subseteq L_0$. Но, по-моему, это неправда, и все включения должны быть наоборот. Или я не права?

[Red_Herring]

Прежде всего, что такое $L_0$?

* Если говорить о пространствах на отрезке (или любой области конечной меры), и $L_p$ с $1\le p \le \infty$, то при увеличении $p$ они "уменьшаются" и потому все верно--если  $q<p$ и отбросим $L_0$. При этом вложения строгие.

* Если обсуждать пространства последовательностей $l_p$, то будет все наоборот.

* Если же речь идет об областях бесконечной меры, то ни то, ни другое неверно, и спасает $L_p\cap L_q\subset L_r$ при $q<r<p$.

[Stasya7]

$L_0$ - пространство измеримых функций, с вероятностью 1 принимающих конечные значения. Соотношение записано для $\infty > p > q >1$

[ewert]

Stasya7 в сообщении #1162214 писал(а):

с вероятностью 1 принимающих конечные значения

Это означает, что речь идёт о попросту почти всюду конечных функциях и что интегрирование ведётся по множеству конечной меры (тем более что "с вероятностью"). Тогда, да, цепочка правильна, и вложения именно нестрогие, вообще говоря.