Комплексные числа

[Solaris86]

Всем привет.
Вопрос такой: никак не могу понять про форму записи комплексного числа (про необходимость написания буквы $i$ в каждом конкретном случае) и про модуль.
Алгебраическая форма записи комплексного числа:
$z = a + bi$
Это мне ясно.
Далее
$a = \operatorname{Re} z$
$b = \operatorname{Im} z$
Тут вот неясно, почему опустили букву $i$? Ведь логичнее так:
$ib = \operatorname{Im} z$
Далее про модуль:
$z = a + bi$ - комплексное число
$a$ - действительная часть комплексного числа $z = a + bi$
$b$ - мнимая часть комплексного числа $z = a + bi$
Опять же, почему не:
$ib$ - мнимая часть комплексного числа $z = a + bi$
$|z|$ - модуль комплексного числа
$|z| = \sqrt {a^2 + b^2}$
Если само комплексное число - вектор, значит действительная и мнимая его части - тоже векторы, поэтому должно же быть так по идее:
$|z| = \sqrt {|a|^2 + |b|^2}$
Или еще вернее так:
$|z| = \sqrt {|a|^2 + |bi|^2}$
Но тогда из-за того, что $i^2 = -1$, поменяется знак перед $b$, что неверно!!!
И еще: почему на комплексной плоскости на графике на мнимой оси одни авторы обозначают просто цифры: 1, 2 и т.п., а другие - цифры с буквой $i$: $i$, $2i$ и т.п.?

[Xaositect]

Про мнимую часть - такие определения, так исторически сложилось. Могли бы быть определения с $i$, тогда в формулах появилось бы деление на $i$.

Solaris86 в сообщении #1161947 писал(а):

Если само комплексное число - вектор, значит действительная и мнимая его части - тоже векторы

Нет. действительная и мнимая части комплексного числа - это действительные числа. На первых порах (ИМХО) полезнее считать не так, что комплексное число - это вектор, а то, что комплексное число соответствует вектору на плоскости, при этом число и вектор - это разные объекты.

(Оффтоп)

А так-то, конечно, они все векторы, но в разных векторных пространствах.

[Someone]

Solaris86 в сообщении #1161947 писал(а):

И еще: почему на комплексной плоскости на графике на мнимой оси одни авторы обозначают просто цифры: 1, 2 и т.п., а другие - цифры с буквой $i$: $i$, $2i$ и т.п.?

Кому как захотелось. Хотя можно придумать рациональные объяснения, почему в одном случае лучше так, а в другом — этак. Однако заочно, не видя текста, я объяснять не буду.

А вообще, абсолютных стандартов в математике нет. Если Вам хочется сложение обозначать не как обычно "$a+b$", а "$\copyright(a\checkmark b]$", то флаг Вам в руки. Только, боюсь, замучаетесь всем объяснять, что это означает и почему нельзя использовать обычные обозначения.

Solaris86 в сообщении #1161947 писал(а):

Или еще вернее так:
$|z| = \sqrt {|a|^2 + |bi|^2}$

А что такое $|bi|$? Если мы хотим, чтобы модуль обладал обычными свойствами, то $|bi|^2=|(bi)^2|=|b^2i^2|=|b^2\cdot(-1)|=|b^2|=b^2$.

Solaris86 в сообщении #1161947 писал(а):

Если само комплексное число - вектор, значит действительная и мнимая его части - тоже векторы

Никто не запрещает считать действительные числа векторами. Всеми нужными свойствами они обладают, и даже больше. Комплексную плоскость вполне можно считать векторным пространством над полем действительных чисел с базисом из векторов $1$ и $i$. И, кстати, тот, кто около мнимой оси пишет $1,2,3,\ldots$, указывает координаты в этом базисе, а тот, кто пишет $i,2i,3i,\ldots$, — сами комплексные числа.

[Anton_Peplov]

Solaris86 в сообщении #1161947 писал(а):

Если само комплексное число - вектор, значит действительная и мнимая его части - тоже векторы

Вот здесь непонятен ход мысли. Кажется, Вы рассуждали так (поправьте, если я ошибаюсь): "комплексное число - это сумма действительной и мнимой части, а если мы складывали что-то и в результате получили арбуз, то и складывали мы арбузы - нельзя же получить арбуз как сумму гороха и утюга". В этом интуитивном соображении есть свой резон, однако комплексное число - это НЕ сумма действительной и мнимой части. Комплексное число - это сумма действительной части и мнимой части, умноженной на i. Соответственно, если уж представлять комплексное число как сумму векторов, то комплексное число $z = a + ib$ - это сумма вектора $a$ и вектора $ib$. Вектор $a$ всегда параллелен оси абсцисс, а вектор $ib$ - оси ординат. Соответственно, $a = \operatorname {Re} z$ - абсцисса вектора $z$ (вот что случается, когда действительное число представляешь вектором над полем действительных чисел - вектор $a$ равен собственной координате!), а $b = \operatorname {Im} z$ - ордината вектора $z$.