Верно ли утверждение о пределах вещественных функций?

[Duelist]

Для решения другой проблемы мне понадобилось следующее утверждение. Пусть вещественные функции $f$, $g$ определены в некоторой проколотой окрестности $U$ точки $x_0.$ Существуют пределы: $\lim\limits_{x \to x_0} g(x) = 0$ и $\lim\limits_{x \to x_0} \frac{f(x)}{g(x)} = 0.$ Верно ли я понял, что отсюда следует, что существует предел $\lim\limits_{x \to x_0} f(x) = 0?$


Я доказывал это через определение предела по Гейне.

Для всякой последовательности $\{x_n\} \subset U$, сходящейся к $x_0$, $\forall n$ $x_n \neq x_0,$ $\lim\limits_{x_n \to \infty} g(x_n) = 0,$ $\lim\limits_{x_n \to \infty} \frac{f(x_n)}{g(x_n)} = 0$.

Тогда $\forall \varepsilon > 0$ $\exists N$ $\forall n > N$ $|g(x_n)| < \varepsilon \wedge \frac{|f(x_n)|}{|g(x_n)|} < \varepsilon$. Отсюда следует: $\forall \varepsilon > 0$ $\exists N$ $\forall n > N$ $\frac{|f(x_n)|}{\varepsilon} < \varepsilon \Rightarrow |f(x_n)| < \varepsilon^2$. Отсюда следует, что $ \exists N_0$ $\forall n > N_0$ $|f(x_n)| < \varepsilon.$

Значит для произвольной последовательности $\{x_n\} \subset U$, сходящейся к $x_0$, $\forall n$ $x_n \neq x_0,$ $\lim\limits_{n \to \infty} f(x_n) = 0$. Откуда следует, что существует предел $\lim\limits_{x \to x_0} f(x) = 0$.

Верно ли утверждение? Правильно ли доказательство? Прошу высказывать свои замечания.

[Otta]

А просто пределa произведения $g(x)\cdot \dfrac{f(x)}{g(x)}$ Вам почему-то не хватило?

(отсюда, кстати, видно, что нулёвость обоих пределов и даже существование каждого - несколько избыточны)

[Duelist]

Otta
Спасибо, это понятно. Я чего-то сразу в общую теорию кинулся.