Треугольник с высотами

[stedent076]

В остроугольном треугольнике $ABC$ проведены высоты $AD$ и $CK$. Из точки $D$ опущен перпендикуляр $DM$ на прямую $CK$, а из точки $K$ – перпендикуляр $KH$ на прямую $AD$ . Доказать, что $HM\parallel AC$
Я пробовал доказать параллельность через равенство накрест лежащих углов, но не получилось, т.к. слишком много неизвестных. Подскажите, пожалуйста, с чего начать решение даной задачи.

[DeBill]

stedent076
Опустите из точек $H,M$ пердикуляры на $AC$, и сосчитайте их длины - через углы и стороны. Никуда не деться - получится....

[gris]

Жестоко
Присмотритесь к рисунку. Там есть одинаковые углы, подобные треугольнички. Я бы попробовал через Фалеса.
<Если честно, удобных накрест лежащих углов не увидел. Соответственные есть, но мне чего-то они не нравятся по одиночке.>

[arseniiv]

Там, часом, не поможет третья высота?

[Skeptic]

Построить окружность, описанную около оснований высот треугольника $ABC$ и стороны $AC$. Удалить все линии вне окружности, чтобы не мешали. Из подобия треугольников можно доказать, что $HM\parallel AC$.

[DeBill]

gris в сообщении #1161791 писал(а):

Жестоко

$AKDC$ - вписанный , и $ACK = ADK$
$KHMD$ - вписанный, и $KDH = KMH$...

[gris]

DeBill, в подобных задачах развлечение в том, чтобы найти наиболее длинное и наиболее короткое решение. Я увидел вертикальные углы, подобные со всеми потрохами треугольники и сразу же пропорцию для обратного Фалеса. И ни одного дополнительного построения

[DeBill]

gris
А я нашел наиболее длинное и наиболее короткое решения..

[gris]

DeBill, я не могу с Вами соревноваться в части самого длинного решения. Но относительно самого короткого поспорю.
Вот моё: (пусть точка пересечения высот будет $O$):
$\angle AOK = \angle COD \Rightarrow \triangle AOK \sim \triangle COD \Rightarrow OH:OM=AH:CM \Rightarrow NM\parallel AC$.

А у Вас? Вписанность четырёхугольников менее очевидна, чем вертикальность углов. Вот запишите своё решение и посмотрим, у кого меньше символов.

[stedent076]

Спасибо всем, кто отписался в теме)

[DeBill]

gris в сообщении #1161917 писал(а):

Вписанность четырёхугольников менее очевидна, чем вертикальность углов.

Да там же углы везде - прямые...

gris в сообщении #1161917 писал(а):

Вот запишите своё решение и посмотрим, у кого меньше символов.

Дык я ж написал. Получилось 20 латинских букв (и неустановленное кол-во русских). У Вас - то же самое...

[gris]

DeBill
А я... я... это Я раньше про соответственные углы написал. Так что это не Вы придумали. Вот.

[DeBill]

gris

(Оффтоп)

Чё то я аж позеленел....

[gris]

DeBill

(Оффтоп)

, так лучше?

Наконец-то угодил! А вертикальные углы всё равно короче!

[DeBill]