Сходимость метода Зейделя

[ansm10]

Я реализовал программу решения системы линейных уравнений по методу Зейделя.
Предварительно я привожу систему к виду $A^TAx=A^Tb$. На каком-то шаге решение перестает улучшаться. В чем может быть дело?

(Я так думаю, что это из-за приведения матрицы к симметрическому виду...)

[user14284]

Я задам очевидные вопросы, которые мне лень писать.

[Утундрий]

ansm10 в сообщении #1161134 писал(а):

В чем может быть дело?

Сошлось.

[ansm10]

Цитата:

Сошлось.

Что за прикол?

[Утундрий]

Зайдём с другого боку. С чего это оно должно бесконечно долго "улучшаться"?

[ansm10]

Цитата:

Зайдём с другого боку. С чего это оно должно бесконечно долго "улучшаться"?

Потому что $||x_n-x||_\infty \to 0$ при $n\to \infty$. .

Скорость сходимости метода: $||x_n-x||_\infty \le q^nC$, где $C$ - какая-то константа. Как мне сейчас кажется, из-за ошибки округления метод не может улучшить следующую итерацию. Для моей матрицы $C$ - слишком большое, а $q$ - слишком маленькое.

$$\begin{bmatrix} 12002.203671015004&1034.703828357454\\ 1034.703828357454&89.20168535023822\\ \end{bmatrix}$$

[TOTAL]

ansm10 в сообщении #1161270 писал(а):

Как мне сейчас кажется, из-за ошибки округления метод не может улучшить следующую итерацию.

Проверьте, можно ли продвинуться дальше и получить решение с большей точностью, если использовать 8 байтовые числа, а не 4 байтовые.

[ansm10]

Цитата:

Проверьте, можно ли продвинуться дальше и получить решение с большей точностью, если использовать 8 байтовые числа, а не 4 байтовые.

Я их и использовал. Это ничего не доказывает. Нужно использовать итерационный параметр, чтобы повышать скорость...

[TOTAL]

ansm10 в сообщении #1161300 писал(а):

Цитата:

Проверьте, можно ли продвинуться дальше и получить решение с большей точностью, если использовать 8 байтовые числа, а не 4 байтовые.

Я их и использовал. Это ничего не доказывает. Нужно использовать итерационный параметр, чтобы повышать скорость...

Тогда проверьте, можно ли продвинуться ближе и получить решение с меньшей точностью, если использовать 4 байтовые числа, а не 8 байтовые.

[ewert]

ansm10 в сообщении #1161270 писал(а):

$$\begin{bmatrix} 12002.203671015004&1034.703828357454\\ 1034.703828357454&89.20168535023822\\ \end{bmatrix}$$

А Вы прикиньте число обусловленности.

[TOTAL]

ansm10 в сообщении #1161134 писал(а):

(Я так думаю, что это из-за приведения матрицы к симметрическому виду...)

Зачем приводили к симметричному виду?

[ewert]

TOTAL в сообщении #1161304 писал(а):

Зачем приводили к симметричному виду?

Затем, что метод Зайделя гарантированно сходится лишь для симметричных матриц. Но приходится считаться с тем, что переход к псевдорешениям портит число обусловленности. И чем хуже была изначальная обусловленность -- тем сильнее портит.

[TOTAL]

ewert в сообщении #1161306 писал(а):

TOTAL в сообщении #1161304 писал(а):

Зачем приводили к симметричному виду?

Затем, что метод Зайделя гарантированно сходится лишь для симметричных матриц. Но приходится считаться с тем, что переход к псевдорешениям портит число обусловленности. И чем хуже была изначальная обусловленность -- тем сильнее портит.

Не только лишь для симметричных (положительно определенных) он гарантированно сходится. Например, исходная матрица имела диагональное преобладание (метод Зейделя сходится), симметризация только увеличила число обусловленности.

[ewert]

TOTAL в сообщении #1161312 писал(а):

Например, исходная матрица имела диагональное преобладание

Это -- дополнительное требование. И если изначально оно не выполнялось, то универсальных способов его добиться не существует. Симметризация же универсальна. Просто следует считаться с последствиями.

[TOTAL]

ewert в сообщении #1161316 писал(а):

TOTAL в сообщении #1161312 писал(а):

Например, исходная матрица имела диагональное преобладание

Это -- дополнительное требование.

Это не дополнительное требование. Диагональное преобладание само по себе гарантирует сходимость.