Построение группы Галуа в конечном поле

[misha89]

Добрый вечер.

Как найти группу Галуа неприводимого многочлена в конечном поле?
Вот нашел такой пример http://www.math.uconn.edu/~kconrad/blurbs/galoistheory/finitefields.pdf на странице 9 примеры 4.3 и 4.4, но там общий пример без чисел. А мне для примера хочется конкретики какой-то числовой.

Например, вот неприводимый многочлен $f(x) = x^2+x+2$ в $F_3$. Каковы будут его корни в расширении?

Целиком решение не нужно, просто толстую подсказку или ссылку на числовой пример какой-то с конечным полем.

[Brukvalub]

misha89 в сообщении #1160926 писал(а):

Каковы будут его корни в расширении?

У поля много разных расширений.
В каком именно расширении вы хотите отыскать корни этого многочлена?

[misha89]

Brukvalub в сообщении #1160928 писал(а):

misha89 в сообщении #1160926 писал(а):

Каковы будут его корни в расширении?

У поля много разных расширений.
В каком именно расширении вы хотите отыскать корни этого многочлена?

Я так понимаю нужно рассматривать расширение $F_{3^2}$ или это не так?

[Brukvalub]

misha89 в сообщении #1160933 писал(а):

Я так понимаю нужно рассматривать расширение $F_{3^2}$ или это не так?

Да, можно рассмотреть такое расширение. Как вы предлагаете записывать элементы этого расширения?

[misha89]

Brukvalub в сообщении #1160937 писал(а):

misha89 в сообщении #1160933 писал(а):

Я так понимаю нужно рассматривать расширение $F_{3^2}$ или это не так?

Да, можно рассмотреть такое расширение. Как вы предлагаете записывать элементы этого расширения?

Я так понимаю можно рассмотреть $F_3/f(y)F_3$, где $f(y)=y^2+y+2$. Тогда элемены расширения: $0,1,2,y,y+1,y+2,2y,2y+1,2y+2$.
В таком расширении корнями многочлена будут $y,y^2=2y+1$.
Но тогда непонятно, как в этом случае строить идеалы Галуа (https://www.google.ru/url?sa=t&source=web&cd=1&ved=0ahUKEwixmI38w-bPAhVCb5oKHfQaCHsQFggeMAA&url=http%3A%2F%2Fwww.sciencedirect.com%2Fscience%2Farticle%2Fpii%2FS0747717100903766%2Fpdf%3Fmd5%3Df872f3a3123f00922548cd1bf758d735%26pid%3D1-s2.0-S0747717100903766-main.pdf&usg=AFQjCNHGHFISVH8aXneguPxGZFL-3Nu4Gg на странице 637)

[AV_77]

Во-первых, второй корень другой будет, не $y^2$. Во-вторых, почитайте про автоморфизмы Фробениуса.

[misha89]

AV_77 в сообщении #1161210 писал(а):

Во-первых, второй корень другой будет, не $y^2$. Во-вторых, почитайте про автоморфизмы Фробениуса.

Да, ошибся со вторым корнем, будет $y^3=2y+2$.

[misha89]

AV_77 в сообщении #1161210 писал(а):

Во-первых, второй корень другой будет, не $y^2$. Во-вторых, почитайте про автоморфизмы Фробениуса.

Я исправил свою ошибку, но это не помогло мне решить проблему. Корни нашел, а как дальше в конечном поле построить идеалы Галуа?

[VAL]

Вам нужна группа Галуа конкретного расширения конкретного конечного поля?
А зачем Вы привели ссылку на статью Philippe Aurby и Annick Valibouze? Она ведь не про конечные поля. Теория Галуа и группы Галуа в случае конечных полей не просто проще, а гораздо проще, чем в общем случае.
Почитайте второй параграф второй главы и комментарии к этой главе в первом томе монографии Р. Лиддла и Г. Нидеррайтера "Конечные поля". Эта монография снабжена массой примеров и пояснений и вообще написана с любовью к читателю.

[misha89]

VAL в сообщении #1161713 писал(а):

Вам нужна группа Галуа конкретного расширения конкретного конечного поля?
А зачем Вы привели ссылку на статью Philippe Aurby и Annick Valibouze? Она ведь не про конечные поля. Теория Галуа и группы Галуа в случае конечных полей не просто проще, а гораздо проще, чем в общем случае.
Почитайте второй параграф второй главы и комментарии к этой главе в первом томе монографии Р. Лиддла и Г. Нидеррайтера "Конечные поля". Эта монография снабжена массой примеров и пояснений и вообще написана с любовью к читателю.

Спасибо большое за совет с монографией.
Просто в данной статье описывается построение идеалов Галуа для совершенного поля, т.е. данный случай подходит и для $F_p = Z/pZ$.
С получением корней для многочлена вроде разобрался, а вот с тем, как на их основе строить идеалы Галуа, к сожалению, нет.