Опять предел

[bayah]

$f:\mathbb R\to\mathbb R$
$\lim\limits_{x\to a} \bigg( 4f(x)+\dfrac{1}{|f(x)|}\bigg)=0$

Предлагается найти $\lim\limits_{x\to a} f(x)$, в случае, если известно, что предел существует, и в случае, что не известно.
В первом случае вроде бы так:

Если $\lim\limits_{x\to a} f(x) = A$, то
$\lim\limits_{x\to a} 4f(x) = 4\lim\limits_{x\to a} f(x) = 4A$
$\lim\limits_{x\to a}\dfrac{1}{|f(x)|}\bigg=\dfrac{1}{\lim\limits_{x\to a}|f(x)|} = \dfrac{1}{|\lim\limits_{x\to a}f(x)|} = \dfrac{1}{|A|}$

Тогда,
$4A + \dfrac{1}{A} = 0$
$4A = - \dfrac{1}{|A|}$
$4A = \dfrac{1}{A}$
$4A^2 = 1$
$A = \dfrac{1}{2}$

В случае, если неизвестно существует ли А я так понимаю сначала нужно показать, что он существует?
Предположим, что это не так...
Что можно сказать в таком случае?
В принципе же могут быть две функции не имеющие пределов сумма которых предел имеет?

[Mikhail_K]

Начать с того, что в рассуждениях "в первом случае" есть ошибка.

[DeBill]

bayah в сообщении #1160835 писал(а):

Предлагается найти $\lim\limits_{x\to a} f(x)$, в случае, если известно, что предел существует, и в случае, что не известно.

Случай 1: предел существует. Тогда - Вы его уже нашли (если, конечно, исправить ошибку в знаке)
Случай 2: не известно, существует ли предел. В этом случае, рассмотрим два случая:
а) этот предел существует. Тогда - это случай 1, уже рассмотренный
б) этот предел не существует. Однако, найти несуществующую вещь нельзя. Поэтому, в случае, когда этот предел не существует, он - не существует!
Осталось вот только разобраться, существуют ли случаи, когда этот предел не существует....
И вот, блин, оказывается таки, что таких случаев - не существует!

(Оффтоп)

Указание: решите неравенство $\left\lvert4z + \frac{1}{\left\lvert z\right\rvert}\right\rvert < \varepsilon$ , где $\varepsilon <1$. И - используя это, не сумеете ли Вы доказать существование предела?