Геометрический смысл смешанной производной

[yaden]

Здравствуйте!
Помогите, пожалуйста, разобраться с геометрическим смыслом смешанной производной
Конкретно на примере $f(x, y) = \frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{4}$ смешанная производная равна нулю и что это значит?
Я сделал чертеж и почитал одну из тем на форме(post422571.html#p422571), но так ничего и не понял(

[arseniiv]

Это значит, что $f'_x$ не зависит от $y$ (и наоборот), например. Геометрическая интерпретация этого вполне простая.

[yaden]

arseniiv в сообщении #1160623 писал(а):

Это значит, что $f'_x$ не зависит от $y$ (и наоборот), например. Геометрическая интерпретация этого вполне простая.

Это значит, что производная по $x$ не менялась бы при движения по "параболе" ?

[svv]

Смотря по какой параболе. На параболоиде лежат два семейства парабол, назовём их $x$-параболы и $y$-параболы. Через каждую точку на параболоиде проходит одна $x$-парабола и одна $y$-парабола. Вы нарисовали на картинке параболы обоих семейств, но, к сожалению, одним цветом, а было бы хорошо, если бы разными.

В любой точке у каждой из двух парабол есть определённый наклон (угол между касательной к параболе и плоскостью $Oxy$). За наклон $x$-парабол отвечает производная $f'_x$, а за наклон $y$-парабол производная $f'_y$.

Так вот, равенство нулю смешанных производных означает, что при движении по $x$-параболе не меняется наклон $y$-парабол, которые Вы пересекаете, и наоборот.

Но при движении по $x$-параболе, конечно же, меняется наклон самой этой параболы.