Прямоугольник, описанный около эллипса

[Metford]

Предложу задачу несложную. Интересно посмотреть на метод решения. Мой метод громоздкий и неинтересный.

Итак, дан эллипс с известными полуосями. Около него описан прямоугольник таким образом, что его площадь максимальна. Требуется найти величину этой площади. Положение прямоугольника относительно эллипса в этом случае достаточно очевидно - но для полноты хорошо бы указать и его.

[kotenok gav]

Metford в сообщении #1160417 писал(а):

Итак, дан эллипс с известными полуосями. Около него описан прямоугольник таким образом, что его площадь максимальна.

По-вашему вокруг эллипса можно описать несколько прямоугольников?

[NSKuber]

kotenok gav
Целую уйму можно. Прямоугольник может иметь стороны, не параллельные осям эллипса.

[Sergic Primazon]

Metford в сообщении #1160417 писал(а):

Предложу задачу несложную. Интересно посмотреть на метод решения. Мой метод громоздкий и неинтересный.

Итак, дан эллипс с известными полуосями. Около него описан прямоугольник таким образом, что его площадь максимальна. Требуется найти величину этой площади. Положение прямоугольника относительно эллипса в этом случае достаточно очевидно - но для полноты хорошо бы указать и его.

Геометрическое место точек из которых эллипс виден под прямым углом - окружность радиуса $\sqrt { a^2+b^2} $.
Поэтому максимальная площадь : $ S= 2 (a^2+b^2)$

[Metford]

Sergic Primazon, красиво. Прошло мимо меня это свойство эллипса когда-то.

[kotenok gav]

Моё решение опубликую завтра или в пятницу.

[TOTAL]

Растянем эллипс до круга вдоль короткой оси $X$.
Площади эллипса и прямоугольника увеличатся в $k=a/b$ раз.
Прямоугольник превратится в ромб, площадь которого тем больше, чем меньше его угол $\phi$ (чем больше $\cos^2\phi$).

Если до растяжения стороны прямоугольника направлялись по $(\sin\omega, \cos\omega)$ и $(\cos\omega, -\-sin\omega)$, то

$$ \max \cos^2\phi = \max \frac{(k^2\cos\omega\sin\omega - \cos\omega\sin\omega)^2}{(k^2\sin^2\omega + \cos^2\omega)(k^2\cos^2\omega + \sin^2\omega)} =\max \frac{(k^2 - 1)^2}{(k^2+q^2)(k^2 + 1/q^2)}= \frac{(k^2 - 1)^2}{(k^2+1)^2} $$

Т. е. $\sin\phi = \frac{2ab}{a^2 + b^2}$ и искомая максимальная площать прямоугольника равна

$$ S= 2a \cdot \frac{2a}{\sin\phi} \cdot \frac{b}{a} $$

[kotenok gav]

NSKuber в сообщении #1160439 писал(а):

kotenok gav
Целую уйму можно. Прямоугольник может иметь стороны, не параллельные осям эллипса.

Приведите картинку.

[Lia]

kotenok gav
Вполне уместно будет снабдить Ваше решение наиболее подходящей для него картинкой. То есть собственноручной.

[kotenok gav]

Lia в сообщении #1163253 писал(а):

kotenok gav
Вполне уместно будет снабдить Ваше решение наиболее подходящей для него картинкой. То есть собственноручной.

Какое мое решение?

[Lia]

kotenok gav
Которое Вы обещали в пятницу.
Впрочем, не так страшно, если Вы не додумались до решения. А картинку все же придумайте сами.

[arseniiv]

kotenok gav
Вы наверняка и сами можете доказать, что прямоугольников, описанных вокруг данного эллипса, бесконечно много. Для этого вам достаточно рассмотреть угол между двумя касательными к нему.

[venco]

arseniiv в сообщении #1163276 писал(а):

kotenok gav
Вы наверняка и сами можете доказать, что прямоугольников, описанных вокруг данного эллипса, бесконечно много.

Прямоугольников, описанных вокруг любой ограниченной фигуры, бесконечно много.

[Metford]

kotenok gav в сообщении #1160437 писал(а):

По-вашему вокруг эллипса можно описать несколько прямоугольников?

Раз уж вопрос снова всплыл, не могу не удивиться тому, что ещё до того, как выложил задачу здесь, несколько раз столкнулся с сомнениями у людей, что такие прямоугольники существуют. Странно... Неужели это, действительно, сложно представить. Я делал картинку. В принципе, могу выложить завтра.

[Metford]

Вот, пожалуйста, картинка. Три прямоугольника, описанные около эллипса. Красный - искомый, два остальных - просто чтобы были.