Соответсвие k-мерных подпространств k на (n-k) матрицам

[mathbro]

Если $p_I$ -- проекция $R^n$ на подпространство $U_I=span(e_{i_1},...,e_{i_k})$ вдоль подпространства $U_J$, где $i_v\in I\subset\{1,...,n\}$, $J=\{1,...,n\}\setminus I$, задает изоморфизм $U$ и $U_I$, то отображение $p_Jq_I^{-1}:U_I\to U_J$, где $q_I^{-1}$ -- ограничение $p_I$ на $U$, однозначно определяет $U$: матрицам $k$ на $(n-k)$ сопоставляем k-мерное подпространства.

Задачка должна быть простой, но я, видимо, плохо что-то понимаю в простых свойствах линейных отображений. В одну сторону более-менее ясно: сопоставим пространству $U$ матрицу отображения. Обратно:
Пусть данный базис -- стандартный. Тогда по столбцам с номерами $i_v$ матрицы Q^{-1} соответствующей отображению $q_I^{-1}$ стоят базисные вектора пространства $U$. Эти вектора имеют вид $u_v=e_{i_v}+w_v$, где $w_v\in U_J$. После проекции, по столбцам с теми же номерами останутся вектора $w_v$ с одной координатой зануленной. Теперь бы понять на каком месте у них поставить 1, и получим по столбцам базис искомого пространства... Тогда возьмем в матрице данного отображения подматрицу без нулевых строк и столбцов и получим нужное соответсвие.

[mathbro]

Уже не актуально.