Определение центра распределения св

[Александрович]

Центр распределения св это есть мо, мода, медиана, центр сгиба и ещё чего-то, например середина размаха. Хочется собрать в одну кучу всё это. Какие ещё будут предложения?

[Toucan]

Тема закрыта как бессодержательная.

[Toucan]

Тема открыта по просьбе ТС. При отсутствии интереса со стороны участников форума тема будет закрыта окончательно.

[Александрович]

Сокращения:
Св - случайная величина $x$;
$X$ц - центр распределения св;
$X$ср - среднее значение св;
$X_m$ - модальное значение св;
$X_{me}$ - медианное значение св;
$X_q$ - квантильное значение св;
$X$цc - центр сдвига распределения св;
$X_p$ - середина размаха св;
$X_{\min}$ - минимальное значение св;
$X_{\max}$ - максимальное значение св.

Определения:
$X$ц - значение св, вокруг которого группируются св;
$X$ср - сумма всех значений св поделённая на их количество;
$X_m$ - наиболее часто встречающееся значение св;
$X_{me}$ - значение св, для $q=0.5$;
$X$цc - среднее значение между $X_{q1}$ и $X_{q3}$, где $q_1=0.25$, а $q_3=0.75$;
$X_p$ - среднее значение между $X_{\min}$ и $X_{\max}$.

[Александрович]

Каждая из перечисленных оценок имеет различную эффективность, которая зависит от вида распределения св.
Например, для распределения Лапласа эффективность оценки $X_{me}$ в два раза выше, чем $X_{cp}$. Это означает что для получения одинаковой точности определения $X$ц при помощи $X_{cp}$ требуется в два раза больше измерений чем при помощи $X_{me}$.

-- Вс окт 23, 2016 16:51:59 --

Для ограниченных распределений, а именно они практически только и встречаются оценка $X_p$ имеет максимальную эффективность.

[Евгений Машеров]

Для начала - давайте различать "параметр положения" и "центр распределения". Первое определено, как величина, которая при прибавлении к случайной величине константы изменяется на эту константу. Таких параметров может быть бесконечно много. Для симметричных распределений естественно в качестве такого параметра брать центр симметрии, для несимметричных не обязательно даже "нечто в середине" (скажем, для "сдвинутого экспоненциального" скорее интересен сдвиг). При этом даже для симметричных распределений центр симметрии может не соответствовать возможному значению, которое принимает данная случайная величина

(Оффтоп)

Как показывает статистика, средний человек имеет одно яичко и один яичник

Но для симметричных центр распределения хотя бы очевиден и однозначен (хотя может быть крайне плох для сообщения о том, каких значений случайной величины нам стоит ждать - скажем, для арксинус-распределения центр это антимода). Для асимметричных вводить "деление поровну" можно разными способами, получая среднее арифметическое, среднее геометрическое, среднее гармоническое, среднее квадратическое, медиану и т.д. И все они в каких-то реальных задачах будут осмыслены.
Переходя от теоретического распределения к оценка по выборке (что не означает, что мы решили все проблемы распределения, мы даже всех их не перечислили), обнаруживаем, что любая оценка неточна, и для любой меры качества оценки выбор разных распределений даст в качестве лучших разные оценки. Поэтому рассуждения относительно лучших оценок слегка воздушны, а для конкретного выбора требуется солидное основание в виде модели порождения данных, спецификации ошибки и явного задания функции потерь.
В реальных случаях рассматривают некий вид распределения отклонения наблюдаемой величины от истиной. Скажем, при построении робастных оценок (а именно там некопаные залежи отличных от названных Вами "оценок центра распределения" - виндзоризованные средние, оценки Эндрюса, бивес-оценки и много-много-много разных ещё) часто предполагают, что у нас есть ошибка обычного измерения, имеющая нормальное распределение с небольшой дисперсией, но с некоторой вероятностью $p\ll 1$ имеют место "грубые ошибки", либо также нормальные, но с высокой дисперсией, либо имеющие распределение с "тяжёлыми хвостами", Лапласа или даже совсем некошерное Коши. И ищут оценку наилучшую при некоторых разумных предположениях о вероятности "грубых ошибок" и их распределении.
В общем же случае приходится ограничиваться цитатой из Киплинга - "Есть 99 способов спеть Песню Племени и ещё 7, и каждый по-своему хорош!".

[Александрович]

Евгений Машеров в сообщении #1162189 писал(а):

Скажем, при построении робастных оценок (а именно там некопаные залежи отличных от названных Вами "оценок центра распределения" - виндзоризованные средние, оценки Эндрюса, бивес-оценки и много-много-много разных ещё).

Спасибо, это именно то, о чём спрашивалось в первом посте. Дело за малым, выяснить что скрывается за

Евгений Машеров в сообщении #1162189 писал(а):

... (и много-много-много разных ещё)...

-- Вс окт 23, 2016 18:11:58 --

Евгений Машеров в сообщении #1162189 писал(а):

Для начала - давайте различать "параметр положения" и "центр распределения".

Давайте. Для св $X$ц определение я привёл. Приведите своё определение для св $X$пп.

[Евгений Машеров]

Александрович в сообщении #1162202 писал(а):

Для св $X$ц определение я привёл

Это не определение. Это благопожелание.

[Александрович]

Евгений Машеров в сообщении #1162215 писал(а):

Это не определение. Это благопожелание.

Пусть так. Приведите Ваше благопожелание.

[Евгений Машеров]

Вы не поняли. "Вокруг которого группируются" - благопожелание. Потому как "вокруг" не определено, и "группируются" тоже. Нет, я знаю, что такое "окрестность", и что есть "статистическая группировка". Но Вы явно в каком-то ином смысле употребили эти слова.
А "параметр положения" я определил. Давайте формальнее.
Функционал $F(\xi)$от статистического распределения, которому подчиняется величина $\xi$ такой, что для случайной величины $\psi=\xi+a$, где a - константа, $F(\psi)=F(\xi)+a$, есть параметр положения.
Аналогично можно определить параметр положения для выборки случайной величины.
Просто их можно определить бесконечно много, так что пожелание "перечислить их все" напоминает одного моего знакомого, поехавшего на филологической почве и предлагавшего мне принять участие в составлении словаря всех мыслимых слов всех существующих и несуществующих языков. Правда, у него должно было бы получиться не более чем счётное множество, а тут континуум.
Есть прикладная задача - надо под неё оценку строить. Или не надо, а взять готовую. Не годится - измыслить новую.

[Александрович]

Я понял. Правильно будет называть мною перечисленное параметрами или характеристиками центра распределения. Стоит к ним ещё добавить усечённое среднее.