Чем отличается вероятностное пространство от случ. величины?

[kikimora]

Доброго времени суток!

Пытаюсь разобраться в основах тер. вера и запутался в базовых понятиях вероятностного пространства и случайной величины. Сначала казалось, что все понятно, но по мере углубления граница между ними стала какая-то уж очень размытая. Поясню на примере.

Пусть задано вероятностное пространство $(\Omega; {\mathcal {F}}; \mathbb {P})$, и на нём определена случайная величина $X:\Omega \to {\mathbb R}$.

Насколько я понимаю, $X$ индуцирует новое вероятностное пространство:
$(\Omega_1 = \operatorname{Im}(X); {\mathcal {F}_1} = 2^{\Omega_1}; \mathbb {P}_1(x) = \mathbb {P}(X^{-1}(x)), x \in {\mathcal {F}_1})$

• $\Omega_1$ - множество значений $X$ (подмножество ${\mathbb R}$)
• ${\mathcal {F}_1}$ - множество всех подмножеств $\Omega_1$
• $\mathbb {P}_1$ - мера, индуцированная $X$

Если я прав, то какой вообще смысл говорить о случайных величинах, можно же говорить только о пространствах? Меньше сущностей - проще жить :)

Спасибо

[--mS--]

Во-первых, $\mathcal F_1$ - это не $2^\Omega$, а $\mathfrak B(\mathbb R)$.
Во-вторых, например, легко и просто понять, что такое $\xi+\eta$ (где слагаемые суть функции из одного и того же вероятностного пространства). А как будем складывать случайные величины, если от (каждой из) них остались только индуцированные в.п.?

[Henrylee]

Кроме того, есть метрическая теория случайных величин, в которой последние рассматриваются как элементы функционального пространства. Так не только распределения важны

[kikimora]

--mS-- в сообщении #1159905 писал(а):

Во-первых, $\mathcal F_1$ - это не $2^\Omega$, а $\mathfrak B(\mathbb R)$.

Поясните, пожалуйста по поводу Борелевской сигма-алгебры. Если $\Omega$$ это дискретное множество, то $\mathfrak B(\Omega) = 2^{\Omega}$, но если говорить о $\mathbb R$, то это уже не так в силу того, что на $\mathbb R$ определена более сложная (не дискретная) топологическая структура. Получается, что в $\mathfrak B(\mathbb R)$ живут не множества чисел, а множества интервалов, верно?

Цитата:

Во-вторых, например, легко и просто понять, что такое $\xi+\eta$ (где слагаемые суть функции из одного и того же вероятностного пространства). А как будем складывать случайные величины, если от (каждой из) них остались только индуцированные в.п.?

Спасибо, все стало на свои места.

[arseniiv]

kikimora в сообщении #1160340 писал(а):

Получается, что в $\mathfrak B(\mathbb R)$ живут не множества чисел, а множества интервалов, верно?

Почему? Любая сигма-алгебра на $A$ состоит из подмножеств $A$.

[--mS--]

kikimora в сообщении #1160340 писал(а):

Поясните, пожалуйста по поводу Борелевской сигма-алгебры.

kikimora в сообщении #1159895 писал(а):

Насколько я понимаю, $X$ индуцирует новое вероятностное пространство:
$(\Omega_1 = \operatorname{Im}(X); {\mathcal {F}_1} = 2^{\Omega_1}; \mathbb {P}_1(x) = \mathbb {P}(X^{-1}(x)), x \in {\mathcal {F}_1})$

Мера $ \mathbb {P}_1$ просто не определена на произвольном $x\in 2^{\Omega_1}$. Поскольку, вообще говоря, только для $x\in \mathfrak B(\mathbb R)$ (а не для произвольного $x\subset \mathbb R$) выполняется $X^{-1}(x)\in\mathcal F$, а мера $\mathbb P$ задана на $\mathcal F$.

Борелевская сигма-алгебра в $\mathbb R$ есть минимальная сигма-алгебра, содержащая все открытые подмножества $\mathbb R$ (в том числе все интервалы).

[kikimora]

Спасибо! Все стало на свои места.