2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Вещественные матрицы и кватернионы
Сообщение08.01.2006, 18:44 
Есть такая задача: найти подгруппу вещественных матриц изоморфную группе кватернионов.
То есть нужно найти биекцию, между некоторыми матрицами 4-го порядка и тремя кватернионными единицами. Очевидно, что единицей группы будет матрица:

1 \rightarrow 
\left( \begin{array}{cccc}
1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1 
\end{array} \right)

Для кватернионных единиц выполнены тождества: i^2 = -1, j^2 = -1, k^2 = -1. Тогда, по-моему единственный разумный вид, в котором можно искать образы кватернионон это:

i \rightarrow 
\left( \begin{array}{cccc}
0 & 0 & 0 & i_1 \\
0 & 0 & i_2 & 0 \\
0 & i_3 & 0 & 0 \\
i_4 & 0 & 0 & 0 
\end{array} \right)

Для j и k по аналогии. НО должны выполняться и некоторые другие тождества, такие как: ji = -k, ij = k, kj = -i, jk = i \ldots И понятно, что после перемножения двух таких косодиагональных матриц получится матрица диагональная. То есть в таком виде невозможно найти образы базисных элементов. Вопрос в том, возможно ли это вообще и в каком виде стоит искать решение. Спасибо![/math]

 
 
 
 
Сообщение09.01.2006, 21:22 
Идея решения - делать i,j,k в виде матриц перестановок координатных векторов со сменой ориентации у двух векторов из четырех. Вроде так должно получиться:
$i=
\begin{pmatrix}
0&1&0&0\\
-1&0&0&0\\
0&0&0&1\\
0&0&-1&0\end{pmatrix}$

$j=
\begin{pmatrix}
0&0&1&0\\
0&0&0&-1\\
-1&0&0&0\\
0&1&0&0\end{pmatrix}$

$k=
\begin{pmatrix}
0&0&0&-1\\
0&0&-1&0\\
0&1&0&0\\
1&0&0&0\end{pmatrix}$

Соотношения $i^2=j^2=k^2=-1, ij=k=-ji$ выполняются, остальные не проверял.

 
 
 
 Спасибо!
Сообщение10.01.2006, 15:44 
Очень разумный подход. Я совсем забыл, о геометрическом смысле кватернионов..

 
 
 
 
Сообщение10.01.2006, 21:33 
Аватара пользователя
Гм. Глядя на вашу задачу у меня невольно возникает ассоциация с присоединенным представлением...
Вот решил привести другой (возможно более громоздкий, но зато более наукоёмкий) способ решения.
Алгебра кватернионов $x_ax_b=C^f_{ab}x_{f}$ задается структурными коэффициентами (для $x_a=(1,i,j,k)$):
$C^1_{11}=C^2_{12}=C^3_{13}=C^4_{14}=1$
$C^2_{21}=C^4_{23}=1,\hspace{5mm} C^1_{22}=C^3_{24}=-1$
$C^3_{34}=C^2_{34}=1,\hspace{5mm} C^4_{32}=C^1_{33}=-1$
$C^4_{41}=C^3_{42}=1,\hspace{5mm} C^2_{43}=C^1_{44}=-1$
От сюда сразу находим присоеденённое представление $[x_a]_{fb}=C^f_{ab}$
Теперь осталось, только записать ответ:
$i=\left(
\begin{array}{cccc}
0 & -1 & 0 & 0 \\
1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & -1 \\
0 & 0 & 1 & 0 \\
\end{array}\right), \hspace{5mm}
j=\left(
\begin{array}{cccc}
0 & 0 & -1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1 \\
1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & -1 & 0 & 0 \\
\end{array}\right), \hspace{5mm}
k=\left(
\begin{array}{cccc}
0 & 0 & 0 & -1 \\
0 & 0 & -1 & 0 \\
0 & 1 & 0 & 0 \\
1 & 0 & 0 & 0 \\
\end{array}\right)
$
Хотя многие (возможно) сочтут это стрельбой из пушки по воробьям =)

 
 
 
 
Сообщение15.01.2006, 02:03 
Привет!

Группа кватернионов порождает соответствующую 4-мерную групповую алгебру над полем R. Нужно рассмотреть ее как линейное пространство над R с базисом (1, i, j, k). Каждому элементу алгебры кватернионов будет однозначно соответствовать оператор умножения на этот элемент. Это - линейный оператор в указанном линейном пространстве, и он, естественно, однозначно представляется матрицей в том же базисе. Далее нужно просто рассмотреть матрицы, соответствующие операторам умножения на (1, i, j, k). Результат таков:

i =
\left( \begin{array}{cccс} 
0 & -1 & 0 & 0 \\ 
1 & 0 & 0 & 0 \\ 
0 & 0 & 0 & -1 \\ 
0 & 0 & 1 & 0 
\end{array} \right)

j =
\left( \begin{array}{cccс} 
0 & 0 & -1 & 0 \\ 
0 & 0 & 0 & -1 \\ 
1 & 0 & 0 & 0 \\ 
0 & 1 & 0 & 0 
\end{array} \right)

k =
\left( \begin{array}{cccс} 
0 & 0 & 0 & -1 \\ 
0 & 0 & -1 & 0 \\ 
0 & 1 & 0 & 0 \\ 
1 & 0 & 0 & 0 
\end{array} \right).

Все соотношения между операторами выполняются автоматически.

 
 
 
 
Сообщение15.01.2006, 02:07 
Sorry. Опечатка в знаке. На самом деле так:

i =
\left( \begin{array}{cccс} 
0 & -1 & 0 & 0 \\ 
1 & 0 & 0 & 0 \\ 
0 & 0 & 0 & -1 \\ 
0 & 0 & 1 & 0 
\end{array} \right)

j =
\left( \begin{array}{cccс} 
0 & 0 & -1 & 0 \\ 
0 & 0 & 0 & 1 \\ 
1 & 0 & 0 & 0 \\ 
0 & -1 & 0 & 0 
\end{array} \right)

k =
\left( \begin{array}{cccс} 
0 & 0 & 0 & -1 \\ 
0 & 0 & -1 & 0 \\ 
0 & 1 & 0 & 0 \\ 
1 & 0 & 0 & 0 
\end{array} \right).

 
 
 [ Сообщений: 6 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group