Упражнение №5 (Демидович)

[lituskirill]

Пусть ${{a}^{\left[ n \right]}}=a\left( a-h \right)...\left[ a-\left( n-1 \right)h \right]$ и ${{a}^{\left[ 0 \right]}}=1$. Доказать: ${{\left( a+b \right)}^{\left[ n \right]}}=\sum\limits_{m=0}^{n}{C_{n}^{m}{{a}^{\left[ n-m \right]}}{{b}^{m}}}$.

Базу индукции пропущу, так как с ней всё понятно.
Докажем что равенство верно при $n=k+1$.
${{\left( a+b \right)}^{\left[ k+1 \right]}}={{\left( a+b \right)}^{\left[ k \right]}}{{\left( a+b \right)}^{\left[ 1 \right]}}={{\left( a+b \right)}^{\left[ k \right]}}\left( a+b-kh \right)$

Так вот вопрос: как из ${{\left( a+b \right)}^{1}}$ получилось $\left( a+b-kh \right)$?

[iifat]

lituskirill в сообщении #1159790 писал(а):

${{\left( a+b \right)}^{\left[ k+1 \right]}}={{\left( a+b \right)}^{\left[ k \right]}}{{\left( a+b \right)}^{\left[ 1 \right]}}$

В каком страшном сне вам приснилась эта ересь?

[lituskirill]

iifat в сообщении #1159791 писал(а):

lituskirill в сообщении #1159790 писал(а):

${{\left( a+b \right)}^{\left[ k+1 \right]}}={{\left( a+b \right)}^{\left[ k \right]}}{{\left( a+b \right)}^{\left[ 1 \right]}}$

В каком страшном сне вам приснилась эта ересь?

Свойство степеней с одинаковым основанием: ${{k}^{m}}\cdot {{k}^{n}}={{k}^{m+n}}$

[Mikhail_K]

lituskirill в сообщении #1159792 писал(а):

Свойство степеней с одинаковым основанием

А разве определение $a^{[n]}$, которое у Вас записано в стартовом посте, чем-то похоже на определение степени?

[lituskirill]

Хорошо, но как тогда получить ${{\left( a+b \right)}^{\left[ k+1 \right]}}={{\left( a+b \right)}^{\left[ k \right]}}\left( a+b-kh \right)$

-- 14.10.2016, 19:57 --

Я вроде бы понял:

${{\left( a+b \right)}^{\left[ k+1 \right]}}=\left( a+b \right)\left( \left( a+b \right)-h \right)...\left( \left( a+b \right)-\left( k+1-1 \right)h \right)=$
$=\left( a+b \right)\left( \left( a+b \right)-h \right)...\left( \left( a+b \right)-\left( k-1 \right)h \right)\left( \left( a+b \right)-kh \right)={{\left( a+b \right)}^{\left[ k \right]}}\left( \left( a+b \right)-kh \right)$