Арифметические операции с нулём и бесконечностью.

[Gordmit]

Что значит $n\to 0$?

А ряд

$$\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n}$$

расходится, да.

[Someone]

Видимо, имелся в виду ряд $\sum\limits_{k=1}^{\infty}\frac 1x$ при $x\to 0$ (все привыкли, что $n$ по умолчанию обозначает целое или натуральное число, хотя это, конечно, не обязательно). Только тут слагаемые не бесконечно малые, а бесконечно большие. Но при $x\to\infty$ они будут бесконечно малыми. Однако ряд всё равно расходится при всех $x\neq 0$ (а при $x=0$ его члены не определены).

[Roll]

Gordmit писал(а):

Что значит $n\to 0$?

А ряд

$$\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n}$$

расходится, да.

Описался. Конечно же $n\to \infty \ $

[Gordmit]

Roll писал(а):

Описался. Конечно же $n\to \infty \ $

А жаль. Версия Someone была очень похожа на правду!

Если Вы пишете ряд $\sum\limits_{n=1}^\infty\frac{1}{n}$, то ничего в духе $n\to\infty$ писать не нужно; здесь $n$ всего лишь переменная суммирования, а не аргумент какой-либо функции.

[Roll]

Gordmit писал(а):

Roll писал(а):

Описался. Конечно же $n\to \infty \ $

А жаль. Версия Someone была очень похожа на правду!

Если Вы пишете ряд $\sum\limits_{n=1}^\infty\frac{1}{n}$, то ничего в духе $n\to\infty$ писать не нужно; здесь $n$ всего лишь переменная суммирования, а не аргумент какой-либо функции.

На самом деле я имел ввиду ряд
$\sum\limits_{j=1}^\infty\frac{1}{n}$ (имеется ввиду, что берется бесконечное количество слагаемых 1/n) , который вообще говоря, не тождественен ряду $\sum\limits_{n=1}^\infty\frac{1}{n}$. Или это одно и то же ?

И разве

$$\lim_{n\to \infty}\frac{1}{n}*\lim_{n\to \infty}{n} = \lim_{n\to \infty}\sum\limits_{}^n\frac{1}{n}$$

?

а так как

$$\lim_{n\to \infty}\frac{1}{n}*\lim_{n\to \infty}{n} = \lim_{n\to \infty}\frac{n}{n} = 1 $$

.

, то и

$$\lim_{n\to \infty}\sum\limits_{}^n\frac{1}{n} = 1$$

[Gordmit]

Roll писал(а):

Gordmit писал(а):

Roll писал(а):

Описался. Конечно же $n\to \infty \ $

А жаль. Версия Someone была очень похожа на правду!

Если Вы пишете ряд $\sum\limits_{n=1}^\infty\frac{1}{n}$, то ничего в духе $n\to\infty$ писать не нужно; здесь $n$ всего лишь переменная суммирования, а не аргумент какой-либо функции.

На самом деле я имел ввиду ряд
$\sum\limits_{j=1}^\infty\frac{1}{n}$ (имеется ввиду, что берется бесконечное количество слагаемых 1/n) , который вообще говоря, не тождественен ряду $\sum\limits_{n=1}^\infty\frac{1}{n}$. Или это одно и то же ?

Ага, похоже, что версия Someone подтверждается Нет, не одно и то же. Но оба, конечно, расходятся. У первого из них даже общий член не стремится к 0 при $j\to\infty$.

Roll писал(а):

И разве

$$\lim_{n\to \infty}\frac{1}{n}*\lim_{n\to \infty}{n} = \lim_{n\to \infty}\sum\limits_{}^n\frac{1}{n}$$

?

а так как

$$\lim_{n\to \infty}\frac{1}{n}*\lim_{n\to \infty}{n} = \lim_{n\to \infty}\frac{n}{n} = 1 $$

.

, то и

$$\lim_{n\to \infty}\sum\limits_{}^n\frac{1}{n} = 1$$

Здесь я уже вообще ничего не понимаю...

[незваный гость]

Roll писал(а):

Сумма бесконечного числа бесконечно малых не есть бесконечно малая только когда эта сумма - функциональный ряд ?

Сумма бесконечного числа "одной и той же" бесконечно малой всегда бесконечно малая ?

Мне кажется, источником Ваших трудностей является неправильное понимание терминов. Отчасти в этом виноваты исторически сложившиеся названия, не отражающие современной формализации.

Бесконечно малая величина — это не величина, то есть не число (за исключением нестандартного анализа). Это всегда функция. (Последовательность — это функция, заданная на множестве натуральных чисел.) Бесконечно малой величина называется, если предел функции равен нулю.

Что такое сумма бесконечного числа величин, это вопрос ещё более мутный. Самый простой случай — это ряд. Сумма ряда — это предел последовательности частичных сумм.

Совмещая эти два определения, мы получаем: сумма бесконечного числа бесконечно малых — это всегда предел частичных сумм функционального ряда.

[Roll]

незваный гость, спасибо за разъяснения !

Добавлено спустя 37 минут 10 секунд:

Gordmit писал(а):

Roll писал(а):

И разве

$$\lim_{n\to \infty}\frac{1}{n}*\lim_{n\to \infty}{n} = \lim_{n\to \infty}\sum\limits_{}^n\frac{1}{n}$$

?

а так как

$$\lim_{n\to \infty}\frac{1}{n}*\lim_{n\to \infty}{n} = \lim_{n\to \infty}\frac{n}{n} = 1 $$

.

, то и

$$\lim_{n\to \infty}\sum\limits_{}^n\frac{1}{n} = 1$$

Здесь я уже вообще ничего не понимаю...

Вы писали, что ряд $$\sum\limits_{}^n\frac{1}{n} при $n\to\infty$ расходится, а значит $$\lim_{n\to \infty}\sum\limits_{}^n\frac{1}{n} не существует.
Но разве

$$\lim_{n\to \infty}\sum\limits_{}^n\frac{1}{n} \neq \lim_{n\to \infty}\frac{n}{n} $$

?

[Gordmit]

Roll писал(а):

Вы писали, что ряд $$\sum\limits_{}^n\frac{1}{n} при $n\to\infty$ расходится, а значит $$\lim_{n\to \infty}\sum\limits_{}^n\frac{1}{n} не существует.

Нет, я писал, что расходится ряд

$$\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n}$$

, а также

$$\sum_{k=1}^\infty\frac{1}{n}$$

. А Ваша сумма

$$\sum\limits_{}^n\frac{1}{n}$$

(если я правильно Вас понял и под ней подразумевается

$$\sum\limits_{k=1}^n\frac{1}{n}$$

) - просто конечная сумма, равная 1 при всех $n$. К тем двум рядам она не имеет никакого отношения.

[Roll]

Gordmit писал(а):

Roll писал(а):

Вы писали, что ряд $$\sum\limits_{}^n\frac{1}{n} при $n\to\infty$ расходится, а значит $$\lim_{n\to \infty}\sum\limits_{}^n\frac{1}{n} не существует.

Нет, я писал, что расходится ряд

$$\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n}$$

, а также

$$\sum_{k=1}^\infty\frac{1}{n}$$

. А Ваша сумма

$$\sum\limits_{}^n\frac{1}{n}$$

(если я правильно Вас понял и под ней подразумевается

$$\sum\limits_{k=1}^n\frac{1}{n}$$

) - просто конечная сумма, равная 1 при всех $n$. К тем двум рядам она не имеет никакого отношения.

Спсибо. Кажется понял

[Henrylee]

Offtopic

Как у вас тут весело и задорно-то..