Стабилизатор действия GL(n)xGL(n) на Mat(n)

[kp9r4d]

Требуется вычислить стабилизатор действия группы Ли $GL(n, \mathbb{R}) \times GL(n,\mathbb{R})$ на $Mat(n,\mathbb{R})$ где действие выглядит следующим образом $X \mapsto AXB$.

Моя попытка решения:
Стабилизатор - все такие пары $(A,B)$ что $AXB = X$ Из этого равенства мы видим, что $\operatorname{Ker} X$ собственное подпространство $B$, а $\operatorname{Im} X$ собственное подпространство у $A$. Далее, определим какой-нибудь невырожденный оператор $B$ таким образом, чтобы $\operatorname{Ker} X$ у него было собственным подпространством. Тогда $A$ обязан переводить $XBv$ в $Xv$ что (в силу невырожденности $B$) жёстко его фиксирует на $\operatorname{Im} X$, с другой же стороны на остальном пространстве он может быть доопределён как угодно - это никак не повлияет на соотношение. Итоговая группа $(GL(n-k,\mathbb{R}) \times GL(k,\mathbb{R}) \times \mathbb{R}^{k \cdot (n-k)}) \times (GL(n-k,\mathbb{R}) \times \mathbb{R}^{k \cdot (n-k)})$ $k = \operatorname{rk} X$ (где первая скобка "конфигурационное пространство" для $B$, а вторая скобка - для $A$). Всё правильно?

[Xaositect]

Это не действие, долно быть либо $B^{-1}$, либо $GL(n) \times GL^{\circ}(n)$.

В остальном рассуждения верные.

[Slav-27]

kp9r4d
А ещё вы перемудрили при выписывании ответа, потому что ваша "итоговая группа" -- это, как группа, вообще не группа.

[kp9r4d]

Оба замечания не понял.

[Slav-27]

Ну $\times$ что значит? Произведение? А чего?

[kp9r4d]

Slav-27
Произведение групп Ли.

[Slav-27]

Замечание Xaositect: если подействовать сначала одним элементом группы, а потом другим -- это должно быть всё равно, что подействовать их произведением. А в вашей формулировке это не так.

-- 13.10.2016, 14:42 --

kp9r4d в сообщении #1159399 писал(а):

Произведение групп Ли.

Что за группа Ли $\mathbb R^{k\cdot (n-k)}$?

[kp9r4d]

$\mathbb{R}$ тавтологически группа Ли, так как $\mathbb{R}$ одномерное многообразие и сложение двух вещественных чисел гладко. А $\mathbb{R}^{k \cdot (n-k)}$ - соответствующее число раз произведение $\mathbb{R}$ с самим собой.

Slav-27 в сообщении #1159400 писал(а):

Замечание Xaositect: если подействовать сначала одним элементом группы, а потом другим -- это должно быть всё равно, что подействовать их произведением. А в вашей формулировке это не так.

Есди подействовать матрицей $A$ на $X$ слева, а потом подействовать матрицей $B$ справа, то это то же самое, что подействовать парой матриц $(A,B)$ слева и справа. Может вы могли бы скинуть определение GL с кружочком сверху? А то гуглить такое тяжко.

[Xaositect]

kp9r4d в сообщении #1159403 писал(а):

Может вы могли бы скинуть определение GL с кружочком сверху? А то гуглить такое тяжко.

https://en.wikipedia.org/wiki/Opposite_group . Группа с тем же носителем, но с умножением в обратном порядке. Еще обозначается $G^{op}$.

-- Чт окт 13, 2016 12:14:31 --

kp9r4d в сообщении #1159403 писал(а):

$\mathbb{R}$ тавтологически группа Ли, так как $\mathbb{R}$ одномерное многообразие и сложение двух вещественных чисел гладко. А $\mathbb{R}^{k \cdot (n-k)}$ - соответствующее число раз произведение $\mathbb{R}$ с самим собой.

Тогда ответ неверный. Например, в случае $X = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}$ наши матрицы $A$ и $B$ будут иметь вид $A = \begin{bmatrix} a & b \\ 0 & c \end{bmatrix}, B = \begin{bmatrix} a^{-1} & 0 \\ d & e \end{bmatrix}$. Заметьте, что группа верхнетреугольных или нижнетреугольных матриц не изоморфна $GL(1) \times GL(1) \times \mathbb{R}$, хотя бы потому, что некоммутативна.

[kp9r4d]

Xaositect
Да, действительно, понял в чём проблема, спасибо.

[Slav-27]

kp9r4d в сообщении #1159403 писал(а):

$\mathbb{R}$ тавтологически группа Ли, так как $\mathbb{R}$ одномерное многообразие и сложение двух вещественных чисел гладко. А $\mathbb{R}^{k \cdot (n-k)}$ - соответствующее число раз произведение $\mathbb{R}$ с самим собой.

Сложение-то как вам тут поможет?

"Действуете" вы произведением двух экземпляров $GL(n)$. Групповая операция у $GL(n)$ -- композиция операторов, то есть умножение матриц. Относительно сложения матриц это не группа.

Давайте посмотрим пример $n=2$, $X=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$, искомая группа (принимая исправление $B^{-1}$)

$$\left\{\left( \begin{pmatrix} a & b \\ 0 & c \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} a & 0 \\ d & e \end{pmatrix}\right)\right\}$$

где $a$, $c$ и $e$ $\ne0$. Как вы эту группу собираетесь факторизовать до $GL(1)\times GL(1)\times\mathbb R\times GL(1)\times\mathbb R$?

[kp9r4d]

Группу всех операторов, у которых данное подпространство размерности $k$ является собственным никак не записать через композицию известных?