Двумерный Навье-Стокса: как правильно поставить задачу?

[DLL]

Речь идет про двумерное уравнение Навье-Стокса для несжимаемое жидкости.
Допустим мы хотим решать задачу в двумерной квадратной полости, где верхняя стенка движется с некоторой скоростью.

Начальные условия особой роли не играют - поставить их просто. На стенках скорости задать тоже не проблема.
А как правильно задать давление $p(x,y)$ на границе - всюду нуль, хмм?

[torn]

Я не совсем понял что собой представляет "квадратная полость", но если имеется ввиду две параллельные плоскости с малым зазором, то давление по всему зазору постоянно.

[DLL]

По сути ящик с жидкостью, в котором верхняя стенка (крыша) поехала

[Утундрий]

Задать - никак. Давление на стенке должно определиться в процессе решения.

[DLL]

То есть для давления $p(x,y,t)$ граничные условия не задаются?
P.S: по виду уравнений - на границе должны задавать, а внутри области сами находиться...

[torn]

Сколько стенок имеет ящик? Две или четыре? А может шесть?
Можно ли какие-то размеры считать бесконечно большими? Что находится на конечных границах системы?
В каком направлении движется крыша? В сторону стенки или в сторону в которой стенки нет?
Процесс стационарный?
Сжимаемсть учитываете?

А вообще говоря, граничные условия по давлению обязательно должны быть, где-то жидкость граничит, например, с атмосферой или вытекает из какого-то объёма с известным давлением, ну или втекает в таковой.

[DLL]

torn в сообщении #1158704 писал(а):

Сколько стенок имеет ящик? Две или четыре? А может шесть?
Можно ли какие-то размеры считать бесконечно большими? Что находится на конечных границах системы?
В каком направлении движется крыша? В сторону стенки или в сторону в которой стенки нет?
Процесс стационарный?
Сжимаемсть учитываете?

А вообще говоря, граничные условия по давлению обязательно должны быть, где-то жидкость граничит, например, с атмосферой или вытекает из какого-то объёма с известным давлением, ну или втекает в таковой.

1. 4 (движется только одна)
2. Реальный ящик можно считать например бесконечно большим вдоль одной оси.
3. Нет.
4. Нет.

Ящик закрыт со всех сторон, атмосферу и воздух учитывать не надо. По сути голый двумерный несжимаемый Навье-Стокс.

[Red_Herring]

Утундрий прав. Следует помнить что $p$ определяется с точностью до константы.

Есть исключение: имеется свободная (неизвестная) граница жидкости, которую следует определить в процессе решения) и на ней действительно  $p$ задается дополнительно

[torn]

1. Если жидкость с четырех сторон ограничена стенками, которые попарно перпендикулярны осям $X$ и $Z$, а в направлении оси $Y$ стенки можно считать бесконечными в обе стороны и стенка, перпендикулярная $Z$ движется вдоль оси $Y$, то задача трехмерна. Если та же стенка движется вдоль $X$, то двумерна. Какой вариант мы рассматриваем?
2. Я не понял: поток стационарный или нет?

[Утундрий]

torn
1. Второй.
2. Не обязательно. Стационарные граничные условия не обязаны приводить к стационарному решению. Вспомните дорожку Кармана за цилиндром.

DLL
Вы не пробовали вообще избавиться от давления?

[DLL]

Утундрий в сообщении #1159027 писал(а):

Вы не пробовали вообще избавиться от давления?

Вы имеете ввиду перейти к функции потока $\phi: u_x = \frac{d\phi}{dy}, u_y = -\frac{d\phi}{dx}$?

[Утундрий]

Ну, так тоже можно... Хотя это будет избавлением от уравнения неразрывности. Я имел в виду взятие вихря.

[Red_Herring]

А лучше и то, и другое: тогда получится одно уравнение

[DLL]

Хорошо. Но вернемся все-таки к изначальной постановке. Пусть задана система уравнений НС (для несжимаемой жидкости) в безразмерной форме:

$$ u_x + v_y = 0, $$ $$ u_t + u u_x + v u_y + p_x - \frac{1}{Re}(u_{xx} + u_{yy}) = 0, $$ $$ v_t + u v_x + v v_y + p_y - \frac{1}{Re}(v_{xx} + v_{yy}) = 0. $$

Как правильно поставить для этой системы начально-краевые условия для задачи движения жидкости в квадратной полости (верхняя стенка начинает двигаться)? Насчет давление - хорошо зафиксируем его в одной точке, дальше что - помимо скоростей на границе надо еще задать их производные?

[Red_Herring]

DLL в сообщении #1159422 писал(а):

помимо скоростей на границе надо еще задать их производные?

Нет. Посмотрите сами на стационарную задачу для малых скоростей ($Re=1$):

$$u_x+v_y=0, \quad \Delta u= p_x, \quad\Delta v=p_y.$$

Избавляемся от $p$: $\Delta (u_y-v_x)=0$, и от у-я неразрывности $u=\phi_y, v=-\phi_x$, и подставляя получаем бигармоничеаское у-е:
$\Delta^2\phi=0$. При нем два граничных условия: на границе $\Gamma$ заданы $\phi_x,\phi_y$. Это вполне хорошие условия: из них получаем две линейные комбинации: производные от $\phi $ вдоль $\Gamma$ (и интегрируя получаем $\phi$ на $\Gamma$) и по нормали $\partial_\nu \phi$ на $\Gamma$ (самая стандартная задача для бигармоничеаского у-я).

Так же и в общем случае