Задача по матану

[SomePupil]

Пусть $n \ge 3 -$ фиксированное целое число. Рассмотрим все возможные конечные последовательности $(a_1, \ldots, a_n)$ положительных чисел. Найти наименьшую верхнюю и наибольую нижнюю грани множества чисел

$$\sum\limits_{k=1}^{n}\frac{a_k}{a_k+a_{k+1}+a_{k+2}},$$

где принимается, что $a_{n+1} = a_1$ и $a_{n+2} = a_2.$

[svv]

Сумма ограничена снизу единицей:
$\sum\limits_{k=1}^{n}\dfrac{a_k}{a_k+a_{k+1}+a_{k+2}}\geqslant\sum\limits_{k=1}^{n}\dfrac{a_k}{a_1+\ldots+a_n}=1$
(при $n=3$ равенство, при $n>3$ строгое неравенство).
При этом $1$ — точная нижняя грань. Возьмём $a_k=x^k$, где $x>0$. Тогда предел суммы при $x\to\infty$ равен $1$.

Сумма ограничена сверху числом $n$, так как каждая из $n$ дробей меньше единицы. Moreover, она ограничена сверху $n-2$:
$\sum\limits_{k=1}^{n}\dfrac{a_k}{a_k+a_{k+1}+a_{k+2}}=\sum\limits_{k=1}^{n}\dfrac{a_k+a_{k+1}+a_{k+2}}{a_k+a_{k+1}+a_{k+2}}-\sum\limits_{k=1}^{n}\dfrac{a_{k+1}}{a_k+a_{k+1}+a_{k+2}}-\sum\limits_{k=1}^{n}\dfrac{a_{k+2}}{a_k+a_{k+1}+a_{k+2}}$
В правой части первая сумма равна $n$, вторая не меньше единицы, третья тоже (доказывается как выше с нижней гранью).
Это точная верхняя грань. Если взять $a_k=x^k$, где $x>0$, то при $x\to 0$ сумма стремится к $n-2$.

[SomePupil]