Олимпиада НГУ - 2016

[arqady]

bot в сообщении #1158512 писал(а):

2. Пусть $a+b>0, b+c>0, c+a>0. $ Докажите, что $\frac{ab}{a+b}+\frac{bc}{b+c}+\frac{ca}{c+a}\leqslant \frac{a+b+c}2.$

Нужно доказать, что $\sum\limits_{cyc}\left(\frac{a+b}{4}-\frac{ab}{a+b}\right)\geq0$, а это $\sum\limits_{cyc}\frac{(a-b)^2}{a+b}\geq0$.

[DeBill]

gris в сообщении #1158740 писал(а):

Сколько существует строк из единиц (горизонтальная) и двоек

Ну да. И, значит, самая левая - то ли 1, то ли 2, так что $f_n = f_{n-1} + f_{n-2}$

[ewert]

bot в сообщении #1158512 писал(а):

4. Найдите наибольшее действительное число $z$, удовлетворяющее условиям:

$$x + y + z=7 \quad\text{и}\quad xy +xz + yz=11.$$

Поскольку это пересечение какой-то сферы и плоскости -- экстремумы достигаются, очевидно, при $x=y$, т.е. $2x+z=7$ и $x^2+2xz=11$. Откуда и квадратное уравнение daogiauvang (а неравенств и вовсе не нужно.

bot в сообщении #1158512 писал(а):

5. Пусть $|q|<1$ и последовательность $x_n$ удовлетворяет рекуррентности $x_{n+1}=q\cos x_n.$
Докажите, что $x_n$ сходится при любом начальном члене $x_0.$

Это -- принцип сжимающих отображений. На втором курсе к этому моменту он уже должен был быть на лекциях.

[RikkiTan1]

DeBill в сообщении #1158681 писал(а):

Ваше решение напомнило известную задачу:
сколько корней у многочлена $1+x+ \frac{x^2}{2!} + ... + \frac{x^n}{n!}$ ?

Как её решить? Точнее, как можно показать, что для четных $n$ корней нет.

[TOTAL]

RikkiTan1 в сообщении #1160358 писал(а):

DeBill в сообщении #1158681 писал(а):

Ваше решение напомнило известную задачу:
сколько корней у многочлена $1+x+ \frac{x^2}{2!} + ... + \frac{x^n}{n!}$ ?

Как её решить? Точнее, как можно показать, что для четных $n$ корней нет.

$\min q(x) = q(x_{min}) = q(x_{min}) - q'(x_{min}) = \dots$

[bot]

2 тур (23 октября)

1 курс

1. Найдите все натуральные числа, разложимые в сумму двух взаимно простых чисел, отличных от единицы.

2. Пусть $a^2+b^2=4 $ и $a+b\ne -2.$ Докажите, что $\frac{ab}{a+b+2}\leqslant \sqrt 2-1.$

3. Найдите все $n$, при которых система $\left\{\begin{matrix} x_1+x_2+\ldots+x_n=2016\\ \frac1{x_1}+\frac1{x_2}+\ldots+\frac1{x_n}=2016\end{matrix}\right.$ разрешима в положительных действительных числах.

4. В четырёхугольник $ABCD$ можно было вписать окружность, но воздержались. Зато в каждый его внутренний угол вписали окружность так, что она касается двух других. Докажите, что хотя бы две из четырех окружностей равны.

5. Первые 8 простых чисел расположились в произвольном порядке в вершинах куба. Если щёлкнуть по какому-либо его ребру, то числа на его концах возрастут на единицу. Можно ли так прощёлкать куб, чтобы все числа в его вершинах стали делиться на 29?

2-4 курсы (вузы с профилирующей математикой)

1. Пусть непрерывная на отрезке $[0;1]$ функция $f$ удовлетворяет условиям $0\leqslant f(x)\leqslant \frac14$ и $\int\limits_0^1 f(x)dx\geqslant \frac18.$ Докажите, что $\int\limits_0^1 \sqrt{f(x)}dx\geqslant \frac14.$

2. Пусть ряд $\sum\limits_{n=1}^\infty a_n$ абсолютно сходится. Докажите, что $\lim\limits_{n\to\infty}\frac{\sqrt{|a_1|}+\sqrt{|a_2|}+\ldots+\sqrt{|a_n|}}{n}=0.$

3. Произведение двух квадратных матриц третьего порядка есть нулевая матрица. Докажите, что хотя бы одна из них имеет ранг не больше единицы.

4. Пусть все точки вещественной прямой являются точками локального минимума функции $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$. Докажите, что множество значений функции $f$ не более чем счётно.


5. Произвольно взятые 3 вершины $n$-мерного куба образуют треугольник. Пусть $\Delta_n$ - число всех таких различных (неконгруентных) треугольников.
Докажите, что

$$\ds\Delta_n=\Big\lfloor\frac{2n^3+21n^2-6n}{72}\Big\rfloor.$$

Здесь $\lfloor x\rfloor$ означает целую часть числа $x$, то есть наибольшее целое, не превосходящее $x.$

2-4 курсы (вузы без профилирующей математики)

1. Найдите наименьшее значение выражения $2xy + 3yz + 4zx,$ если $x,y,z $ положительны и $ xyz =3$.
Найдите значения переменных, дающее это наименьшее значение.

2. Последовательность определена рекуррентной формулой $x_0=a, x_{n+1}=bx_n+c.$ Определите все возможные значения параметров $a, b, c$, при которых последовательность сходится.

3. Вычислите предел $\lim\limits_{n\to\infty}\left(1-\frac1{2^2}\right)\left(1-\frac1{3^2}\right)\ldots \left(1-\frac1{n^2}\right).$

4. Пусть вещественная функция $f$ непрерывна на всей числовой прямой и $\int\limits_x^{x+1} f(t)dt= \int\limits_0^{1} f(t)dt$ для любого $x\in \mathbb R. $ Докажите, что $f$ периодична.

5. Вычислите интеграл $\ds\int\limits_{-1}^1 \ln\left(\sqrt{1+|x|+\arcsin^2 x}+\arcsin x\right)\, dx.$

[mihiv]

1 курс

3. $\sum \limits _{i=1}^n (x_i+\frac 1{x_i})=2\cdot 2016\geqslant 2n$, отсюда $n\leqslant 2016$. Решения есть для $2\leqslant n\leqslant 2016$.

[grizzly]

1 курс.
1. Нечётные делим пополам с округлением вниз и вверх; кратные четырём делим пополам плюс-минус 1; остальные чётные делим пополам плюс-минус 2. (Если 2 числа имеют общий делитель, то их разность имеет тот же делитель.) Начало ряда проверяем вручную.
Но это уровень 6-7 кл.

[mihiv]

2-4 курсы (с проф. математикой)

1. $\int \limits _0^1(\sqrt {f(x)}\sqrt {f(x)}-\frac 18)dx\geqslant 0$,так как $f(x)\leqslant \frac 12$, то $\int \limits _0^1(\frac 12\sqrt {f(x)}-\frac 18)dx\geqslant 0.$

[gris]

4. Про локальные минимумы. Вроде бы такая функция должна быть кусочно постоянной с возможными изолированными точками строгого минимума и интервалами знакопостоянства. То есть чередуются интервалы и, возможно, точки. Это дело нумеруется легко. Интервалы с помощью рациональных чисел, точки прикрепляются к интервалам.
4. Про интеграл. Там можно подифференцировать по верхнему пределу, представив левый интеграл в виде разности интегралов. Получится, что единичка — период (возможно, не минимальный).

[TR63]

bot в сообщении #1162277 писал(а):

3. Вычислите предел $\lim\limits_{n\to\infty}\left(1-\frac1{2^2}\right)\left(1-\frac1{3^2}\right)\ldots \left(1-\frac1{n^2}\right).$

$\lim\limits_{n\to\infty}\left(1-\frac1{2^2}\right)\left(1-\frac1{3^2}\right)\ldots \left(1-\frac1{n^2}\right)=\frac1 2.$
Разложить разность квадратов, перегруппировать, сократить. Получится
$\lim\limits_{n\to\infty}\{\frac1 2\idots\frac{n+1}{n}\}=\frac1 2$

[mihailm]

TR63 в сообщении #1162392 писал(а):

...Разложить на сумму квадратов...

Тут дети иногда читают. TR63, ну не можете грамотно писать, копируйте фразы из учебников что-ли.

[TR63]

bot в сообщении #1162277 писал(а):

1. Найдите наименьшее значение выражения $2xy + 3yz + 4zx,$ если $x,y,z $ положительны и $ xyz =3$.

Применяем АМ-ГМ. Получаем минимум равен 18 при равных слагаемых. Решаем систему...

-- 24.10.2016, 01:15 --

mihailm, опечатка. Исправила.

[mihailm]

(Оффтоп)

TR63, "разложить на разность квадратов" тоже неправильно, можно, например, "разложить как разность квадратов"

[TR63]

(Оффтоп)

mihailm, исправила. Спасибо. Примеры очень лёгкие. Дети разберутся.