Подходящие дроби и диофантово свойство порядка \tau

[demolishka]

Пусть $x \in \mathbb{R} \setminus \mathbb{Q}$ и $\tau \geq 0$. Будем говорить, что $x$ обладает диофантовым свойством порядка $\tau$, если найдется такая константа $c>0$, что неравенство

$$\left|x-\frac{p}{q}\right| > \frac{c}{q^{2+\tau}}$$

выполнено для всех целых $p$ и целых положительных $q$.

Введем стандартные понятия из теории цепных дробей. Обозначим $x_0 := x - \lfloor x \rfloor$ и $x_n := \frac{1}{x_{n-1}}-\lfloor \frac{1}{x_{n-1}} \rfloor$ для $n=1,2,\ldots$. Тогда элементы цепной дроби представляющей $x$ определяются как $a_n := \lfloor \frac{1}{x_{n-1}}\rfloor, \ n\geq 1$ и $a_0 := \lfloor x \rfloor$. Подходящие дроби $p_n,q_n$ для $n \geq 0$ определяются по индукции

$$p_n = a_n p_{n-1} + p_{n-2},$$

$$q_n = a_n q_{n-1} + q_{n-2},$$

где $p_{-2}=0, p_{-1}=1,q_{-2}=1,q_{-1}=0$.

Нужно показать, что следующие утверждения равносильны:

1. $x$ обладает диофантовым свойством порядка $\tau$.
2. $q_{n+1} = O\left(q^{1+\tau}_{n}\right)$.
3. $a_{n+1}=O\left(q^{\tau}_{n}\right)$.

Равносильность утверждений 2 и 3 следует из известной оценки для подходящих дробей

$$\frac{1}{q_n q_{n+1} + q_n q_n}<\left|x-\frac{p_n}{q_n}\right| < \frac{1}{q_n q_{n+1}}$$

Из 1 следует 2 просто по определению. Пытаюсь доказать, что из 2 и 3 следует 1. Для $q=q_{n}$ нужное неравенство выполняется (следует из той же нижней оценки). Теперь рассматриваю $q_{n}<q < q_{n+1}$. Известно, что (за исключением тривиального случая) подходящие дроби и только они являются наилучшими приближениями второго рода, т.е. в данном случае $|xq - p| > |x q_{n+1} - p_{n+1}|$. При этом, из леммы о наилучшем приближении следует, что $|xq - p| \geq |x q_{n} - p_{n}|$ (иначе бы выполнялось $q=0$). Поэтому,

$$\left|x-\frac{p}{q}\right| = \frac{1}{q} |xq-p| \geq \frac{1}{q} |xq_{n}-p_{n}| > \frac{q_n}{q}\frac{c}{q_n^{2+\tau}} > \frac{c}{q^{2+\tau}}.$$

Пока набирал текст, додумал доказательство. Поэтому спрошу, можно ли доказать проще? Встретил это утверждение в виде упражнения в этой книге на странице 130. Но там кроме понятия цепной дроби и леммы о наилучшем приближении практически ничего не давалось.