Сколько чисел больше, сколько чисел меньше?

[Ktina]

На доске написано 2015 чисел (не обязательно различных). Для каждого из этих чисел подсчитали, сколько чисел на доске меньше него, и сколько чисел на доске больше него. Может ли так оказаться, что для каждого числа на доске эти два количества имеют разную четность?
(К. Сухов)

Предлагаю следующее решение:

Ответ: Нет, не может.

Разобьём все числа на группы так, чтобы одинаковые числа были в одной группе, а разные - в разных.
Так как всего у нас чисел 2015 (нечётное количество), хотя бы одна из групп должна также состоять из нечётного количества чисел.
Рассмотрим эту группу. Количество чисел, меньших каждого из чисел этой группы, и количество чисел, больших каждого из чисел этой группы, имеют, по предположению задачи, разную чётность, значит их сумма нечётна. Но в самой группе тоже нечётное количество чисел. Тогда получается, что количество всех чисел на доске чётно, а это противоречит условию задачи.

Верно ли моё решение и не чересчур ли запутанно сформулировано?

[StaticZero]

По-моему, можно и проще.

(Неинтересный текст)

В качестве рассмотренной вами группы с нечётным количеством чисел подойдёт и одно уникальное число $a$ среди выписанных. Тогда кроме него на доске находится 2014 чисел, разбитых на непересекающиеся множества "больше $a$" и "меньше $a$". Мощности этих множеств разную чётность иметь, очевидно, не могут, ибо их сумма чётна.

Если же уникальное число не найдётся, то тогда все числа равны друг другу, и мощности соответствующих множеств равны нулю.

Ktina в сообщении #1158117 писал(а):

чересчур ли запутанно сформулировано?

Мне показалось, что простое, в общем-то, рассуждение у вас облачилось в одежду из всяких лишних словесных конструкций, которые мешали увидеть идеологию. Но решение мне кажется верным: я противоречий не увидел.

[mihaild]

StaticZero в сообщении #1158120 писал(а):

Если же уникальное число не найдётся, то тогда все числа равны друг другу

Не обязательно: например, одно число повторяется $2013$ раз, и другое $2$ раза.

[StaticZero]

(Про задачу)

mihaild в сообщении #1158123 писал(а):

Не обязательно: например, одно число повторяется $2013$ раз, и другое $2$ раза.

Ага. Вот тут я и споткнулся и разбил себе лицо.

Швы можно наложить так: если нет уникального, то либо все одинаковые, либо есть $2k + 1$ одинаковых чисел (об этом говорит Ktina как раз). Возьмём оттуда одно из них и выкинем остальные. Так как выкидываем чётное количество чисел, то задача по существу не меняется: имеем набор из нечётного количества чисел, в котором есть уникальный элемент.

Вот теперь я увидел, кажется, в чём суть задачи.

---
Чёрт знает, но стиль написания (нагромождение всяких слов и утверждений в одну кучу) меня лично отталкивает, и чтобы это понять, нужно поднатужится. А может быть, это я такой тупой.

Во всяком случае, отдавать на проверку в олимпиадную комиссию такие решения самое то (пусть разбираются, не зря они там сидят!), но для демонстрационных целей (для того, чтоб другие поняли самую суть задачи), мне кажется, такой стиль подачи не годится.

(Оффтоп)

И зачем только авторы всяких решений для нетривиальных олимпиадных задач стараются таким ужасным стилем сократить количество буковок?..

[Mihaylo]

Моя формулировка:
Упорядочим числа по возрастанию. Рассмотрим произвольное число, находящееся на месте $k$. Может оказаться, что у этого числа есть $m$ чисел-двойников.
Количество чисел меньше и количество чисел больше выбранной группы чисел имеют разную четность, значит их сумма нечетна.
Нечетно количество всех чисел - $2015$.Отсюда следует, что количество $m$ должно быть четно для любого выбранного числа. Но это невозможно, так как найдется хотя бы одна группа с нечетным $m$.