Доказательство утверждения из теории множеств

[lituskirill]

Доказать: $A\vartriangle B\subset \left( \left( A\vartriangle D \right)\bigcup \left( B\vartriangle D \right) \right)$.
Доказательство:
$x\in \left( A\vartriangle D \right)\bigcup \left( B\vartriangle D \right)\Rightarrow x\in A\vartriangle D\vee x\in B\vartriangle D\Rightarrow $
$\Rightarrow x\in \left( A\bigcup D \right)\backslash \left( A\bigcap D \right)\vee x\in \left( B\bigcup D \right)\backslash \left( B\bigcap D \right)\Rightarrow $
$\Rightarrow x\in A\bigcup D\wedge x\notin A\bigcap D\vee x\in B\bigcup D\wedge x\notin B\bigcap D\Rightarrow $
$\Rightarrow x\in A\bigcup D\vee x\in B\bigcup D\wedge x\notin A\bigcap D\wedge x\notin B\bigcap D\Rightarrow $
$\Rightarrow x\in A\bigcup B\vee x\in D\wedge x\notin A\bigcap B\wedge x\notin D\Rightarrow $
$\Rightarrow x\in A\bigcup B\wedge x\notin A\bigcap B\wedge x\in D\vee x\notin D\Rightarrow$
$\Rightarrow x\in A\vartriangle B\wedge x\in D\vee x\notin D\Rightarrow ???\

Я видимо запутался и сделал где-то ошибку, но не могу найти её. Помогите отыскать, пожалуйста.

[grizzly]

Во-первых, Вы пытаетесь не в ту сторону доказывать включение. Ну и мелочи в конце уже не имеют значения.

[lituskirill]

grizzly в сообщении #1157066 писал(а):

Во-первых, Вы пытаетесь не в ту сторону доказывать включение. Ну и мелочи в конце уже не имеют значения.

А как тогда доказать включение, если в левой части лишь два множества? Я думал, что приведя правую часть к виду, где будет симметрическая разность A и B и какая то операция с множеством D можно будет показать, что левая часть включена в правую.

[grizzly]

lituskirill в сообщении #1157067 писал(а):

А как тогда доказать включение, если в левой части лишь два множества?

А Вы нарисуйте картинку, в которой все эти множества пересекаются, тогда будет понятнее. Но вообще, что Вам мешает добавить множество? например так: сказать, что из $x\in A$ следует $x\in A\cup D?$

[mihaild]

lituskirill в сообщении #1157067 писал(а):

А как тогда доказать включение, если в левой части лишь два множества?

Начать с расписывания по определению: $x \in A \triangle B \Rightarrow (x \in A \wedge x \notin B) \vee (x \in B \wedge x \notin A)$. Дальше попробуйте рассмотреть (формально) случаи $x \in D$ и $x \notin D$.

lituskirill в сообщении #1157067 писал(а):

Я думал, что приведя правую часть к виду, где будет симметрическая разность A и B и какая то операция с множеством D

Можно попытаться начать с $x \in (A \triangle D) \cup (B \triangle D)$, и дальше эквивалентными преобразованиями вывести из этого $x \in (A \triangle B) \cup C$ для какого-то $C$. Просто следствия тут рассматривать бесполезно, т.к. можно было бы сразу написать $x \in \varnothing \Rightarrow x \in A \triangle B$.

[grizzly]

Я вырезал часть формулы:

lituskirill в сообщении #1157063 писал(а):

$x\notin A\bigcap D\wedge x\notin B\bigcap D\Rightarrow x\notin A\bigcap B\wedge x\notin D$

Имейте в виду, что это неверно (рисуйте картинку или вспоминайте законы де Моргана).