2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3  След.
 
 Re: 7 человек в лесу
Сообщение04.10.2016, 12:30 
Аватара пользователя


07/01/16
1426
Аязьма
А...да, $72$ то тоже можно :-)

 Профиль  
                  
 
 Re: 7 человек в лесу
Сообщение04.10.2016, 13:10 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/09/14
6328
Я, вроде, рассуждал примерно так же, как DeBill и здесь тоже получил 72. Поэтому не понял, чем это интереснее. А рассуждение универсальное и может быть расписано до формул, как у waxtep. Ну и про некорректность "предыдущего замечания" нужно вовремя вспоминать. Должны формально получаться правильные ответы, если не ошибаться в подсчётах.

 Профиль  
                  
 
 Re: 7 человек в лесу
Сообщение04.10.2016, 14:24 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/09/13
4318
grizzly в сообщении #1157144 писал(а):
Поэтому не понял, чем это интереснее.

Если с самого начала всё правильно учесть, то все варианты одинаковы... :-)

-- 04.10.2016, 14:26 --

DeBill в сообщении #1156916 писал(а):
При этом: доля трех самых больших среди всех будет наибольшей, если эта дырка - сразу за тремя самыми большими.

Кстати, это неверно для 8ми человек... ;-) точнее это верно, но не совсем про нашу задачу :-)

 Профиль  
                  
 
 Re: 7 человек в лесу
Сообщение04.10.2016, 14:30 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/09/14
6328
Geen в сообщении #1157171 писал(а):
точнее это верно, но не совсем про нашу задачу
Конечно. :D Я тоже предупредил:
    grizzly в сообщении #1157144 писал(а):
    Ну и про некорректность "предыдущего замечания" нужно вовремя вспоминать.


 Профиль  
                  
 
 Re: 7 человек в лесу
Сообщение04.10.2016, 14:39 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
12044
Казань
daogiauvang Ну как? Решили вы задачу?
Представленные пока рассуждения не тянут на доказательность... Если задача не онлайн-олимпиады, то можно, наверное, представить и более полно решение... Хотя бы его начало.

Пусть грибники набрали $a_1<a_2<a_3<a_4<b_1<b_2<b_3$ грибов, причем $\sum a_i + \sum b_j = n$. Условие задачи нарушится, если слагаемые можно подобрать так, что $\sum a_i > \sum b_j$.
Имеем $a_3\leqslant a_4-1, a_2\leqslant a_4-2, a_1\leqslant a_4-3$, с другой стороны, $b_2\geqslant b_1+1, b_3\geqslant b_1+2$, так что
$$4a_4-6\geqslant\sum a_i > \sum b_j\geqslant 3b_1+3 \geqslant 3(a_4+1)+3$$
Откуда получаем ограничение на $a_4$, а из него -- и на $n$

 Профиль  
                  
 
 Re: 7 человек в лесу
Сообщение04.10.2016, 15:30 
Аватара пользователя


07/01/16
1426
Аязьма
provincialka в сообщении #1157181 писал(а):
Откуда получаем ограничение на $a_4$, а из него -- и на $n$
но ведь это даст всего лишь $a_4\ge12$, разве нет? :roll:

 Профиль  
                  
 
 Re: 7 человек в лесу
Сообщение04.10.2016, 17:01 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
12044
Казань
Ага! То есть для меньших $a_4$ мы не сможем подобрать "неправильное" распределение грибов.
Это, конечно, не все решение. Только один шаг.

 Профиль  
                  
 
 Re: 7 человек в лесу
Сообщение04.10.2016, 17:23 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/09/14
6328
provincialka в сообщении #1157227 писал(а):
Только один шаг.
В правильном ответе $a_4=15$. Так что ещё несколько шагов потребуется.

 Профиль  
                  
 
 Re: 7 человек в лесу
Сообщение04.10.2016, 17:31 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
12044
Казань
Кстати, из "моего" неравенства следует, что $a_4 > 12$, т.е. $a_4\geqslant 13$. Уже не так много шагов !

 Профиль  
                  
 
 Re: 7 человек в лесу
Сообщение04.10.2016, 18:47 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
12044
Казань
Да, оценки надо делать поаккуратнее. Например, пусть $n=2k$, тогда в неправильном распределении будет $\sum a_i \geqslant k+1, \sum b_i \leqslant k-1$. В силу выведенных ранее неравенств для эти сумм получаем, что $4a_4-6\geqslant k+1, 3b_1+3\leqslant k-1$. Значит, $a_4\geqslant \frac{k+7}4$, в силу целочисленности имеем $a_4\geqslant [\frac{k+10}{4}]$. Аналогично получаем, что $b_1\leqslant [\frac{k-4}{3}]$.

При заданном $n$ не будет существовать "плохого" распределения, если во всех случаях $a_4\geqslant b_1$, то есть $[\frac{k+10}{4}]\geqslant [\frac{k-4}{3}]$.

Обозначив последнюю целую часть через $p$ получаем, что $k\geqslant 4p-10$ и $k<3(p+1)+4$

 Профиль  
                  
 
 Re: 7 человек в лесу
Сообщение04.10.2016, 20:03 
Аватара пользователя


21/06/08
476
Томск
provincialka
Нет, конечно не онлайн олимпиады. Я просто видел задачу без решения в книгу в нашем языке. И представление в начале есть, но очень трудно оформить в математическом языке.

 Профиль  
                  
 
 Re: 7 человек в лесу
Сообщение04.10.2016, 20:40 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
12044
Казань
daogiauvang
Я написала начало возможного решения. Но такие задачи требуют четкой логики,четких математических рассуждений. Надеюсь, вашего знания русского языка хватит, чтобы понять решение.

 Профиль  
                  
 
 Re: 7 человек в лесу
Сообщение04.10.2016, 20:55 


14/01/11
2916
Пусть грибники набрали $a_1<a_2<a_3<a_4<a_5<a_6<a_7$ грибов. Тогда $a_5+a_6+a_7 \geqslant 9+a_2+a_3+a_4$. Если $n \leqslant 90$, то $a_1 \leqslant 9$ и $a_5+a_6+a_7 \geqslant a_1+a_2+a_3+a_4.$

 Профиль  
                  
 
 Re: 7 человек в лесу
Сообщение04.10.2016, 21:00 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/09/14
6328
Sender в сообщении #1157316 писал(а):
Если $n \leqslant 90$, то ...
было:
    DeBill в сообщении #1156916 писал(а):
    Упс... Зачем то хотел, чтобы "для всех, не больших $n$ чтоб было хорошо...
:D

 Профиль  
                  
 
 Re: 7 человек в лесу
Сообщение04.10.2016, 22:53 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
12044
Казань
Sender
Множество допустимых $n$ не имеет вид промежутка. Целочисленность порождает причудливое поведение данных.

-- 04.10.2016, 22:55 --

daogiauvang в сообщении #1157291 писал(а):
очень трудно оформить в математическом языке.

Если не онлайн олимпиада,могу написать полное решение. Нужно? Или вы уже сами поняли, как решать?

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 33 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group