Непрерывность обратной функции.

[Duelist]

Пусть $f: A \to \mathbb{R}$, $A \subset \mathbb{R}$ - строго монотонное непрерывное отображение. Нужно доказать непрерывность обратного отображения $f^{-1}: f(A) \to A$. Для этого достаточно доказать, что открытые в индуцированной топологии подмн-ва $A$ отображаются в открытые в индуцированной топологии подмн-ва $f(A)$.
В $A$ открытым может оказаться, например, подмн-во вида $[x_0;y_0)$. Его образом будет подмн-во вида $[f(x_0);f(y_0))$. Как доказать, что оно будет открытым в индуцированной топологии $f(A)?$

Можно рассмотреть мн-во $A^*=\{x \in A: x < x_0 \}.$ Если оно содержит граничную точку $x_1 \geqslant x$ $\forall x \in A^*$, то всё ясно.

Если нет, то пусть $\exists y' \in f(A)$ $y' < f(x_0)$ $y' \geqslant f(x)$ $\forall x \in A^*$ - тогда тоже понятно.

Можно как-то доказать, что в противном случае функция не непрерывная?
Могу сказать, что тогда $x_1$ - предельная точка $A^*$, $f$ не определена в $x_1$, $\lim \limits_{x \to x_1} f(x) = f(x_0)$. Строго как-то отсюда не знаю, как нарушение непрерывности вывести.

[Brukvalub]

Проще всего опереться на т. Коши о промежуточных значениях.

[Someone]

А что такое $A$?

[Duelist]

Someone
Подмножество $\mathbb{R}$. Я не знаю, в листочке просто написано д-ть строгую монотонность и непрерывность обратной ф-ии, если данная функция строго монотонна и непрерывна. Про монотонность доказал. Про область определения ничего не сказано, поэтому я и взял произвольное подмножество.

[Someone]

Для произвольного подмножества это неверно. Контрпример: $A=\{-1,\frac 1n:n\in\mathbb{N}\}$ (под $\mathbb{N}$ понимаем натуральный ряд без нуля), функцию $f\colon A\to\mathbb{R}$ определяем так: … А впрочем, сами определите.

[Duelist]

Someone
Спасибо. Ну, понятно: $\frac{1}{n} \to \frac{1}{n},$ $-1\to 0$. Обратная ф-я действительно не непрерывна: например, в любой окрестности нуля будут дроби не переводящиеся в $\{-1\}$. А в $A$ все точки изолированные, потому функция, очевидно, непрерывна.
Так что мне тогда посоветуете доказывать, чтоб задачу приняли? Для $\mathbb{R}$ или для отрезка всё просто, вроде.

[Brukvalub]

Duelist в сообщении #1156843 писал(а):

Так что мне тогда посоветуете

На выбор:
1. Уточнить условие.
2. Написать полученный контрпример.
3. Перестать обучаться в том месте, где задают задачи с АшиПками.
4. ....

[Duelist]

Напишу контрпример и решение для каких-нибудь канонических случаев.

Brukvalub в сообщении #1156869 писал(а):

3. Перестать обучаться в том месте, где задают задачи с АшиПками.

Да там, наверное, подразумевалось, что понятно для каких случаев, а я не понял, потому что на лекции не был.

[g______d]

Если $A$ замкнуто, то, по-моему, утверждение верно.

[Duelist]

Я тут рассмотрел разные случаи, и понял, что кое в чём запутался.

Сперва отображение $f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$ строго монотонное и непрерывное.
Докажем, что открытые мн-ва переводятся в открытые.

1. $(a,b) \subset \mathbb{R}$

(i) $f(x) \in f((a;b)) \Leftrightarrow f(a) < f(x) <f(b)$.
(ii) $(a;b)$ - связно в $\mathbb{R}$, следовательно образ связен.

Из (i) и (ii) следует, что $f((a;b)) = (f(a);f(b))$ - т.е. образ открыт.

2. $(a;\infty) \subset \mathbb{R}$ - соображения, аналогичные предыдущим.

3.$\mathbb{R} \to \mathbb{R}$ - то же из соображений связности и монотонности.

Это верно?


Дальше рассматривал отображения из замкнутых подмножеств, о чём говорил g______d. Но сперва хочу кое-что уточнить, возвращаясь к примеру Someone.

Someone в сообщении #1156801 писал(а):

Для произвольного подмножества это неверно. Контрпример: $A=\{-1,\frac 1n:n\in\mathbb{N}\}...$

Здесь у нас отображение $f$ из $A=\{-1, \frac 1n:n \in \mathbb{N}\setminus \{0\} \}$ в $\mathbb{R}$. Ясно, что образ $f$ не равен $\mathbb{R}$. Что у нас обратная функция: $f^{-1}: \mathbb{R} \to A$ или $f^{-1}:f(A) \to A$? Если первое, то надо же куда-то отобразить все остальные вещественные числа? Если второе, то какие множества открыты в $f(A)$? Если мы берём индуцированную топологию, то она тоже получится дискретной. Вот в этом я запутался. Прошу прояснить.

[Brukvalub]

Duelist в сообщении #1156993 писал(а):

Что у нас обратная функция: $f^{-1}: \mathbb{R} \to A$ или $f^{-1}:f(A) \to A$?

Второе.

Duelist в сообщении #1156993 писал(а):

какие множества открыты в $f(A)$?

Пересечения открытых в $R$ с $f(A)$.

Duelist в сообщении #1156993 писал(а):

Если мы берём индуцированную топологию, то она тоже получится дискретной.

Попробуйте изолировать точку $0$?

[Duelist]

Brukvalub
Спасибо, ясно.

Brukvalub в сообщении #1157007 писал(а):

Попробуйте изолировать точку $0$?

Попробовал, не получается, да

[lyuk]

Тут есть смысл рассмотреть 2 случая. Первый -- множество $A$ замкнуто в $\mathbb R$ (или проще -- компактно). Второй -- множество $A$ промежуток. Далее Вы получите это свойство для множества $A$, каждая точка которого имеет либо замкнутую в $\mathbb R$ окрестность, либо связную окрестность.

А необходимое и достаточное условие на множество $A$ -- каждый максимальный ограниченый промежуток в дополнении к $A$ это либо интервал либо отрезок.