Среднее значение многочлена

[Ulya]

Что можно извлечь из формулы для среднего значения многочлена

$$ P_m(z) = \frac{1}{n} \sum_{k=1}^n \lambda_k (\lambda_k z - 1) P_m(z+\lambda_k) $$

Числа

$$ |\lambda_k| \le \left(\frac{5}{n-3}\right)^3 $$

[Brukvalub]

Ulya писал(а):

Что можно извлечь из формулы для среднего значения многочлена

$$ P_m(z) = \frac{1}{n} \sum_{k=1}^n \lambda_k (\lambda_k z - 1) P_m(z+\lambda_k) $$

Числа

$$ |\lambda_k| \le \left(\frac{5}{n-3}\right)^3 $$

Какая-то странная формула Например, берём

\[ P_4 (z) = z^4 \;,\;\lambda _k = 1\;,\;\left| 1 \right| < \frac{{125}}{1} \Rightarrow z^4 = (z - 1)(z + 1)^4 \]

Последнее равенство - явно неверное. Так что, как здесь учит Профессор Снэйп, из такой формулы можно извлечь все, чего только душа пожелает

[Echo-Off]

Brukvalub писал(а):

Какая-то странная формула

В принципе, оно и понятно. Слева стоит многочлен степени $m$, а справа - степени $m+1$, поэтому для некоторых $z$ (точнее, для почти всех) равенство будет неверным.

[Brukvalub]

Echo-Off писал(а):

Слева стоит многочлен степени $m$, а справа - степени $m+1$

Я бы не был столь категоричен. Например, если

\[ \sum\limits_{k = 1}^n {\lambda _k^2 } = 0 \]

, то степень многочлена справа не превосходит $m$

[Ulya]

Вот как раз-то

$$ \sum_{k=1}^n \lambda_k = 0, \\ \sum_{k=1}^n \lambda_k^2 = 0, \\ \sum_{k=1}^n \lambda_k^3 = 1, \\ \sum_{k=1}^n \lambda_k^4 = 0, \\ \ldots $$

Добавлено спустя 4 минуты 38 секунд:

Ну я в более общем случае напишу (эта формула верна для многочленов, являющихся решением диф.уравнения
$(Ax^2+Bx+C)y''+(ax+b)y'+K y=0$):

$$ P_m(z)=\frac{1}{n\,((n-1)A+a)} \sum_{\mu=1}^{n} \lambda_{\mu}\left(2Az^2+\left(2B+ a\lambda_{\mu}\right)z +(2C+ b\lambda_{\mu}\right) P_m(z+\lambda_{\mu}),\;m \ge 2. $$

Как известно, $K=-n(n-1)A-a n$.

Добавлено спустя 7 минут 9 секунд:

И $\lambda_k$ решения такого уравнения

$$ \sum_{k=0}^{N} (-1)^{k} \cdot \frac{\lambda^{n-3k}}{3^k k!} = 0,\;N=\left[\frac{n}{3}\right]. $$

Добавлено спустя 6 минут 25 секунд:

А в самом первом посте был написан многочлен Эрмита

[незваный гость]

Ulya писал(а):

Что можно извлечь из формулы для среднего значения многочлена

А что такое среднее значение многочлена? В том числе, многочлена Эрмита?

[Ulya]

Ну эт я так назвала эту формулу (ну просто мне кажется, что это значение многочлена в центре круга радиуса $|z|<max(\lambda_k)$).
Если такое название не нравится, то говорить так не буду )

[Echo-Off]

Ulya писал(а):

$$ \sum_{k=1}^n \lambda_k = 0, \\ \sum_{k=1}^n \lambda_k^2 = 1, \\ \sum_{k=1}^n \lambda_k^3 = 0, \\ \sum_{k=1}^n \lambda_k^4 = 0, \\ \ldots $$

$$ \sum_{k=0}^{N} (-1)^{k} \cdot \frac{\lambda^{n-3k}}{3^k k!} = 0,\;N=\left[\frac{n}{3}\right]. $$

Что-то мне кажется, что эти два условия противоречат друг другу.

[Ulya]

Исправлено

[Ulya]

Ну так что же можно извлечь?

Добавлено спустя 36 секунд:

Может доказать линейную независимость многочленов или еще какие-нибудь свойства из данной формулы?

[Ulya]

ну так можно или нельзя?

[Echo-Off]

Ulya писал(а):

Может доказать линейную независимость многочленов

Мне пока что виден только один многочлен $P_m(z)$, а когда говорят о линейной независимости элементов, предполагается обычно, что этих элементов несколько. Возможно, Вы имели ввиду линейную независимость многочленов Эрмита при всех $m$: $P_m(z):\ m=1,\ 2,\ \dots$. Тогда ответ положительный. Естественно, что многочлены разных степеней линейно независимы.

[Ulya]

Ну а какие-нибудь оценки интересные можно найти или доказать через формулу из 1-ого поста ортогональность многочленов Эрмита.

нг:

Замечание за подъём темы неинформативным сообщением. Сообщение удалено.