Последние цифры совершенных чисел

[grlukov]

Википедия пишет, что четные совершенные числа заканчиваются обязательно на 6 или на 8. Я всегда думал, что это только гипотеза. Может кто-нибудь кинуть ссылку на статью или привести доказательство?

[svv]

Все чётные совершенные числа имеют вид
$N=2^{p-1}(2^p-1)$,
где $2^p-1$ простое.

Если $2^p-1$ простое, то $p$ простое. Значит, за исключением $p=2$, оно нечётное, тогда $p-1$ чётное, а $\frac{p-1}2$ целое. Возможны два случая:

$\bullet$ $\frac{p-1}2$ чётно ($=2m$). Тогда $p=4m+1$, а соответствующее совершенное число
$N=2^{4m}(2^{4m+1}-1)=16^m(2\cdot 16^m-1)$
$16^m$ оканчивается шестёркой, $2\cdot 16^m-1$ единицей, тогда $N$ — шестёркой.

$\bullet$ $\frac{p-1}2$ нечётно. Рассмотрите этот случай самостоятельно.

В книге Мартина Гарднера «Математические новеллы» прочитайте захватывающую главу 28 о совершенных числах, включая Ответы. Мне этой главы хватило, чтобы ответить на Ваш вопрос.

[grlukov]

Все оказалось очень прсто, большое спасибо!