Частичная сумма ряда 1-2+3-4+...

[s8am]

Доброго времени суток.

Подскажите, пожалуйста, идею, как можно получить выражение для частичной суммы ряда $1-2+3-4+...$.

Как вычислить частичную сумму для $1+2+3+4+...$ - знаю, но по исходной задаче даже мыслей никаких нет.

[provincialka]

Сгруппируйте члены по два. Рассмотрите отдельно $S_{2n}$ и $S_{2n-1}$.

[warlock66613]

Ну а типовые приёмы для нахождения сумм сходящихся рядов знаете? Попробуйте их применить.

[s8am]

provincialka
Соседние? Разность каждой такой пары будет $-1$, правда на дальнейшие мысли меня это не наводит.

[provincialka]

s8am в сообщении #1155787 писал(а):

на дальнейшие мысли меня это не наводит.

Странно... Ну, выпишите общий вид суммы $S_{2n}$, например.

[s8am]

provincialka
$S_{2n} = n^2$

[Nemiroff]

$A_n=1-2+\ldots - n$
$S_n=1+2+\ldots + n$

$S_n-A_n=2(2+4+\ldots +n)=2\cdot 2 (1+2+\ldots + n/2) = \ldots$

Для чётных $n$, конечно. Для нечётных сами.

[provincialka]

Нет. Проверьте при небольших $n$.
Я же сказала

provincialka в сообщении #1155789 писал(а):

выпишите общий вид суммы

Ну, то есть с "плюсиками", а не ответ.
Вот, например, $S_2 = 1-2$; $S_4 = (1-2)+(3-4)$. А вы для произвольного $n$ напишите.

-- 29.09.2016, 20:02 --

Nemiroff
По-моему, вы переусложнили Товарищу надо бы на небольших $n$ попрактиковаться.

[Nemiroff]

provincialka в сообщении #1155794 писал(а):

По-моему, вы переусложнили

Есть немного. Зато это помогает зная (нормально зная) ответ для $S_n$ "свести задачу к предыдущей".

[s8am]

provincialka
$S_{2n} = -n$.

[provincialka]

Теперь верно. Найдите так же $S_{2n-1}$ . А потом --нужно ли вам записать все одной формулой? Надеюсь, что нет. Хотя и можно поизвращаться.

[s8am]

provincialka
$S_{2n-1}=n$

Да, нужно записать одной формулой.

Иными словами, нужно выразить $\sum_{i=0}^{n} (-1)^i (i+1)$ через $n$ одной строчкой.

[provincialka]

Ну, заметьте, что $n$ является примерно половиной как $2n$, так и $2n-1$. В последнем случае -- чуть больше половины.
А что можно использовать? Например, функцию "целая часть". Или похожую функцию \ceiling "потолок".

[s8am]

provincialka
Ответ вот такой вот: $\frac{1}{4} ((-1)^n (2n+3)+1)$

[provincialka]

Хм... А вы проверили подстановкой малых $n$? Что-то не сходится...
Надо подправить коэффициенты.
Хотя через целую часть короче. А вообще -- извращение какое-то... Почему бы в две строчки не записать?