комбинаторное решение тождества

[stanger]

Есть сумма биномиальных коэффициентов:

$ \sum\limits_{k=1}^{n} k^2 {n \choose k}^2 $

Алгебраическое решение - $ n^2 {2n-2 \choose n-1} $

Как можно доказать это комбинаторно? (то есть придумать комбинаторные объекты, посчитав которые одним способом, получим сумму справа, а другим - выражение слева)

[arseniiv]

А по выводу биекцию не получается увидеть? У отдельных алгебраических преобразований бывает комбинаторный смысл. А числу $ n^2 {2n-2 \choose n-1} $ довольно естественно сопоставить объекты, задающиеся местом в квадрате и перестановкой $n-1$ и $n-1$ элементов двух типов. По идее, надо их только правильно сгруппировать…

[stanger]

Это понятно. Но вот сгруппировать и не получается
Еще смущает то, что в ответе мы выбираем $n-1$ объект, а в сумме всегда указывает, что их $n$

[DeBill]

Задача: Сколько комиссий можно выбрать из $n+n$ чел, если в них дОлжон быть равнополый состав, и два (разнополых) сопредседателя?
Можно так: наберем поровну муж и жен, и в каждой кучке - выберем главного.
А можно так: выберем двух главных; из оставшихся, выберем $n-1$ чел, и в комиссию включим главных, выбранных муж, и невыбранных ж...
(Это и есть упоминавшееся выше соответствие)

[stanger]

Спасибо! Разобрался!