Численное интегрирование системы ОДУ методом Рунге-Кутта

[Redmal]

Задача. Определить одним из численных методов состояние динамического объекта $ x(t)$, модель которого имеет вид: $\dot{x}=Ax,x_0=x(t_0)$ при $ t = 1 c$. Вектор начальных условий $x_0$ совпадает с одним из собственных векторов матрицы А.
$A=$\begin{bmatrix} 1& 0& 1& \\ 2& -1& 0& \\ 1& -1& 2& \end{bmatrix}$$
Точность определения $\varepsilon= 0.05$. Осуществить проверку аналитическим методом.

Я определил начальные условия(собственный вектор).$\lambda=\begin{pmatrix} 2& \\ -1& \\ 1& \end{pmatrix} X=\begin{pmatrix} 0& \\ 0.949& \\ 0.316& \end{pmatrix}$
Как посчитать данное ОДУ с помощью метода Рунге-Кутта.
Почему собственный вектор - это начальные условия? Куда в методе Рунге-Кутта вставлять матрицу А из уравнения Коши которое дано из условия задачи?

[svv]

Про $\TeX$. Знаете, почему у Вас закрывающие скобки векторов и матриц сдвинуты вправо? Потому что Вы в каждой строке ставите лишний знак & в конце.

Про задачу. Давайте для начала правильно найдём собственные значения и соответствующие им собственные векторы. Что такое $\lambda=\begin{pmatrix}2\\-1\\1\end{pmatrix}$ ?

[Redmal]

$\lambda_1=1, \lambda_2=-1, \lambda_3=2 $

[Pphantom]

Redmal в сообщении #1154924 писал(а):

$\lambda_1=1, \lambda_2=-1, \lambda_3=2 $

Это неправильно.

[Brukvalub]

Redmal в сообщении #1154853 писал(а):

Почему собственный вектор - это начальные условия?

Это требование написано в условии задачи:

Redmal в сообщении #1154853 писал(а):

Вектор начальных условий $x_0$ совпадает с одним из собственных векторов матрицы А.

Redmal в сообщении #1154853 писал(а):

Куда в методе Рунге-Кутта вставлять матрицу А из уравнения Коши которое дано из условия задачи?

Пацаны, кто знаИт, скАрее Сдесь пЕшЫте, чО куда поЦтавлять, ато миня учебник лЕстать лАмАит!

[Redmal]

Ребят я ошибся в первой строке 3-й элемент матрицы не 1, а 0. Пересчитывал, все верно.
$\begin{bmatrix} 1& 0& 0\\ 2& -1& 0\\ 1& -1& 2 \end{bmatrix}$
$h=0.549$
Дальше выбираю один из $\lambda$ и нахожу вектор X, а дальше нужно выбрать шаг и решить с помощью Рунге-Кутта. Как это сделать?

[svv]

Redmal в сообщении #1155026 писал(а):

Дальше выбираю один из $\lambda$ и нахожу вектор X

Пожалуйста, всё-таки напишите, какое собственное значение Вы выбрали и какой ему соответствует собственный вектор.

Redmal в сообщении #1155026 писал(а):

дальше нужно выбрать шаг и решить с помощью Рунге-Кутта. Как это сделать?

За уравнения какого общего вида «берётся» метод Рунге-Кутта?

[Redmal]

Цитата:

Пожалуйста, всё-таки напишите, какое собственное значение Вы выбрали и какой ему соответствует собственный вектор.

Redmal в сообщении #1155026 писал(а):

дальше нужно выбрать шаг и решить с помощью Рунге-Кутта. Как это сделать?

Беру элемент $\lambda=-1$
Получаю вектор X, который писал в первом посте.

[svv]

Ага.
У такого выбора есть достоинства (точное решение ограничено) и недостатки (из-за ошибок округления может возникнуть небольшая, но экспоненциально растущая примесь других собственных векторов, которая вскоре забьёт экспоненциально убывающее точное решение).

Вы, наверное, знаете, что собственные векторы определены с точностью до умножения на скаляр $c\neq 0$. Если $Ax=\lambda x$, то $A(cx)=\lambda cx$. Пользуясь этим, Ваш вектор можно упростить до
$\begin{bmatrix}0\\3 \\1\end{bmatrix}$
(проверьте, что этот вектор тоже подходит в качестве собственного для $\lambda=-1$).

Остается вопрос про общую форму уравнения, к которой применим метод. Когда Вы её запишете, я скажу, где в этом выражении учитывается матрица.