Помогите вычислить lim (cos(pi/(2+x))/x) при x->0.

[matematikFromMati]

Помогите вычислить lim (cos(pi/(2+x))/x) при x->0.

[cepesh]

Используйте тег MATH

$$\lim\limits_{x \to 0} \frac{\cos\left(\frac{\pi}{2+x}\right)}{x}=\frac{\pi}{4}$$

Использовано правило Лопиталя

[bot]

Брюзга: лучше всё же непосредственно сведением к первому замечательному пределу:
$\cos\frac{\pi}{2+x} = \sin(\frac{\pi}{2}-\frac{\pi}{2+x})=\sin\frac{\pi x}{2(2+x)}$
А иначе ведь порочный круг налицо: правило Лопиталя использует производную, а производная косинуса вычисляется через первый замечательный предел.

[lofar]

Смотря как определять косинус. Если как ряд или как функцию обратную интегралу, то порочного круга нет. Вообще, строгое определение тригонометрических функций, как мне кажется, представляет собой тонкий методологический вопрос.

[Someone]

bot писал(а):

Брюзга: лучше всё же непосредственно сведением к первому замечательному пределу: ...
А иначе ведь порочный круг налицо: правило Лопиталя использует производную, а производная косинуса вычисляется через первый замечательный предел.

Нет тут порочного круга, поскольку первый замечательный предел вычисляется до вычисления производной синуса или косинуса. Даже если мы потом будем вычислять первый замечательный предел с помощью правила Лопиталя, порочного круга не будет, так как у нас есть независимое вычисление. А то Вы запретите вообще применять правило Лопиталя к пределам, содержащим тригонометрические функции (и, вдобавок, к пределам, содержащим логарифмическую или показательную функцию - по аналогичной причине).

[matematikFromMati]

Всем большое спасибо.