Прообраз максимального идеала

[Duelist]

Всегда ли при гомоморфизме к. колец с единицей прообраз максимального идеала максимален?

В Ленге было упражнение: доказать, что при эпиморфизме к. колец с единицей $f: A \to A'$ прообраз максимального идеала $m' \subset A'$ - максимальный идеал в $A$. Я тогда доказал это, построив изоморфизм $A/(m) \simeq A'/(m')$, где $m=f^{-1}(m')$.

Сейчас речь идёт просто о гомоморфизме, поэтому ответ, вроде бы, должен быть отрицательным. Какой есть контрпример?

[user14284]

Вложение $\Bbb Z\to \Bbb Q$

[Duelist]

user14284
$\mathbb{Q}$ - поле там нет нетривиальных идеалов, и один из них максимален: $\{0\}$. Его прообразом будет опять $\{0\}$, который не максимален в $\mathbb{Z}$ ... до чего ж тривиально, спасибо.