Тянем-потянем

[dovlato]

Мягкий канат сложен в компактную, но не перепутанную кучку. Взяв за конец, его начинают вытягивать с постоянной силой $f$.
Никаких колебаний не возникает. Требуется найти изменение температуры $\Delta T$ вытянутой части каната, если его линейная теплоёмкость равна $C$.
Гравитации нет.

[AnatolyBa]

Канат нерастяжимый? На это, впрочем, намекает отсутствие колебаний.
Тогда не так уж сложно

[AlexNew]

Сила на длину вытянутой часть и у нас есть совершенная работа которая перешла во внутреннею энергию молекул вытянутой часть каната.
Теперь зная теплоемкость найти температуру не сложно.

$\Delta T = \frac{f \Delta L}{C}$

[AnatolyBa]

Ну уж не настолько просто. Кинетическую энергию забыли

[realeugene]

$\Delta T = \frac{f}{2C}$
Проще всего перейти в систему отсчёта, в которой конец нити неподвижен, и летит клубок, из которого вытягивается нить и останавливается.

[dovlato]

realeugene в сообщении #1154528 писал(а):

$\Delta T = \frac{f}{2C}$
Проще всего перейти в систему отсчёта, в которой конец нити неподвижен, и летит клубок, из которого вытягивается нить и останавливается.

У меня такой же ответ. На самом деле появление здесь этой задачи немного комично. На форуме "Вашего Репетитора" поднялась дискуссия в этой как раз связи.
Все, наверное, помнят классическую задачу, где канат перекинут через блок, и по свисающему концу карабкается обезьяна, а с другой стороны - сложенный в кучу
канат, откуда он и вытягивается. Так вот, народ тамошний безо всякого энтузиазма воспринял моё заявление, что тепло будет выделяться не только
там, где он падает на пол под обезьяной - но и в точке вытягивания.
Хотя я там и доказал, что в эту тепловую потерю уходит половина всей работы, совершаемой обезьяной.

[AnatolyBa]

realeugene в сообщении #1154528 писал(а):

Проще всего перейти в систему отсчёта, в которой конец нити неподвижен

Проще ли? Нужно ведь еще показать, что эта система отсчета инерционная. (Она, конечно, инерционная, но нужно ж доказать).
А вообще задача хоть и несложная, но есть в ней элегантность. Мне понравилось, спасибо.

[realeugene]

AnatolyBa в сообщении #1154542 писал(а):

Нужно ведь еще показать, что эта система отсчета инерционная.

Инерциальная. Показывается тривиально и автоматически в ходе вычислений, когда закрепляем конец нити и получаем постоянную силу.

[AnatolyBa]

realeugene в сообщении #1154543 писал(а):

Инерциальная

Знаю, что инерционная.

realeugene в сообщении #1154543 писал(а):

Показывается тривиально и автоматически в ходе вычислений

Значит все-таки вычисления. Значит не намного проще.
Мне почему-то кажется, что у вас был опыт решения задачи, что-нибудь вроде разматывающейся катушки.
Если нет, то догадаться сразу, что скорость постоянная - это серьезно. Я не догадался. Глаз не алмаз.

[realeugene]

AnatolyBa в сообщении #1154544 писал(а):

Мне почему-то кажется, что у вас был опыт решения задачи, что-нибудь вроде разматывающейся катушки.

Я в школьном возрасте увлекался олимпиадами, поэтому, у меня был богатый опыт решения различных подобных школьных задач.

[AlexNew]

AnatolyBa писал(а):

Ну уж не настолько просто. Кинетическую энергию забыли

нет, у нас вся работа пошла в тепло, зачем мне разгонять канат, я его просто вытягиваю.
Вытянутый канат ведь на земле лежит а не летит ей параллельно с постоянной скоростью.

Напишите ваше решение.

dovlato писал(а):

Так вот, народ тамошний безо всякого энтузиазма воспринял моё заявление, что тепло будет выделяться не только
там, где он падает на пол под обезьяной - но и в точке вытягивания.
Хотя я там и доказал, что в эту тепловую потерю уходит половина всей работы, совершаемой обезьяной.

Напишите здесь тоже.

[realeugene]

AlexNew в сообщении #1154567 писал(а):

Вытянутый канат ведь на земле лежит а не летит ей параллельно с постоянной скоростью.

Гравитации нет, по условию. Летит с некоторой скоростью, при нулевой скорости канат не вытягивается и сила работу не совершает.

[AnatolyBa]

AlexNew в сообщении #1154567 писал(а):

Напишите ваше решение.

Зачем же так сразу. Подождем.
Ответ у меня - такой же как упоминалось

[dovlato]

Схема доказательства простая.
1. Получаем стационарную скорость вытягивания, из баланса импульсов
2. Сравниваем мощность силы с мощность возрастания кинетич. энергии вытянутого куска.
Завтра-послезавтра напишу, если остальным будет лень)).

[AnatolyBa]

AlexNew в сообщении #1154567 писал(а):

Напишите ваше решение.

Мое решение.
Пусть $l(t)$ длина вытянутого куска. Предполагается $l(0)=0$, но пусть будет $l(0)=l_0$. Скорость $v(t)=\dot{l}$, опять же пусть будет $v(0)=v_0$.
Линейную плотность обозначим $\rho$, тогда импульс движущегося куска $\rho l(t) v(t)$. Уравнение движения $\dfrac{d(\rho l v)}{dt}=\dfrac{d(\rho l \dot{l})}{dt}=f$, откуда $l(t)=\sqrt{\frac{f t^2}{\rho}+2 v_0 l_0 t +l_0^2}$. При $l_0=0$ имеем $l=t \sqrt{\frac{f}{\rho}}$ и $v=\sqrt{\frac{f}{\rho}}=\operatorname{const}$.
Работа силы $A=f l(t)$ Кинетическая энергия $K=\frac{\rho l v^2}{2}=\frac{l f}{2}$. Работа минус кинетическая энергия уходят в тепло $\Delta T=\frac{A-K}{l C}=\frac{f}{2 C}$.
Олимпиадная компонента - догадаться, что $v=\operatorname{const}$ не решая дифура (или не умея решать). Зная ответ - видно, что это сделать несложно. Однако поставить себя сейчас на место школьника не умеющего решать дифуры и оценить сложность задачи - не могу