Приближение иррациональных чисел рациональными

[evgeniysmv]

В книге "Числа рациональные и иррациональные" Айвена Нивена есть такая теорема:



Далее есть пример:



Из этого примера получается, что число $\frac{8}{6}$ является лучшим приближением для $\sqrt{2}$, чем число $\frac{4}{3}$, но это же одно и тоже число. Как такое может быть?

[Slav-27]

evgeniysmv в сообщении #1154481 писал(а):

получается, что число $\frac{8}{6}$ является лучшим приближением для $\sqrt{2}$, чем число $\frac{4}{3}$

Там такого не написано. Там написано, что выполняется какое-то неравенство.

-- 25.09.2016, 14:17 --

Ну то есть просто получилось, что $4/3$ приближает ваше число даже лучше, чем обязано по той теореме.

[svv]

evgeniysmv в сообщении #1154481 писал(а):

Из этого примера получается, что число $\frac{8}{6}$ является лучшим приближением для $\sqrt{2}$, чем число $\frac{4}{3}$,

Чуть тоньше. Приближение $\frac m n$ с бОльшим знаменателем $n$ обеспечивает более жёсткие гарантии (что $\lambda$ принадлежит интервалу длиной $\frac 1 n$ с центром в $\frac m n$). При этом одно и то же число в разных местах последовательности может обеспечивать разные гарантии.

[evgeniysmv]

То есть число $\frac{4}{3}$, если я правильно понял Ваши рассуждения, заведомо ближе к числу $\sqrt{2}$, чем даже число $\frac{7}{5}$, так как число $\frac{8}{6}$, которое также является числом $\frac{4}{3}$, ближе к $\sqrt{2}$, чем $\frac{7}{5}$ согласно теореме. Но ведь число $\frac{8}{6}$ это 1,(3) в десятичном выражении, а $\frac{7}{5}$ это 1,4, и сразу видно, что $\frac{7}{5}$ ближе, чем $\frac{8}{6}$.

-- 25.09.2016, 13:49 --

Или же опять для числа $\frac{7}{5}$ найдётся другое его выражение далее в ряду с большим знаменателем, которое гарантирует, что число $\frac{7}{5}$ ближе, чем $\frac{8}{6}$?

[Brukvalub]

evgeniysmv в сообщении #1154489 писал(а):

То есть число $\frac{4}{3}$, если я правильно понял Ваши рассуждения, заведомо ближе к числу $\sqrt{2}$, чем даже число $\frac{7}{5}$,

Поясните подробнее, из каких слов выше вы сделали этот вывод.

[evgeniysmv]

evgeniysmv в сообщении #1154503 писал(а):

Поясните подробнее, из каких слов выше вы сделали этот вывод.

Я вроде бы разобрался. Данная теорема говорит только о том, что число приближается к заданному иррациональному с точностью не менее определённых границ, но это ещё не значит, что оно не может быть приближением с точностью в более узких границах, поэтому в ряду приближений это число может снова встретиться. Вроде бы так.

[Brukvalub]

(Оффтоп)

Вчера я был у доктора, и тот сказал мне, что если я буду продолжать так курить, то до ста лет точно не доживу. У меня отличный доктор, ведь своим прогнозом он обещал мне, что я точно протяну всего лишь до 99 лет, а меня и это вполне устраивает!

[evgeniysmv]

Brukvalub в сообщении #1154504 писал(а):

Вчера я был у доктора, и тот сказал мне, что если я буду продолжать так курить, то до ста лет точно не доживу. У меня отличный доктор, ведь своим прогнозом он обещал мне, что я точно протяну всего лишь до 99 лет, а меня и это вполне устраивает!

Не могу разобраться подтверждает или опровергает данное ироничное отступление мои выводы.

[Brukvalub]

evgeniysmv в сообщении #1154503 писал(а):

Данная теорема говорит только о том, что число приближается к заданному иррациональному с точностью не менее определённых границ, но это ещё не значит, что оно не может быть приближением с точностью в более узких границах, поэтому в ряду приближений это число может снова встретиться. Вроде бы так.

Это верное заключение, которое показывает, что вы преодолели свои заблуждения.

[gris]

Можно для наглядности такой пример привести. Будем приближать число $0,5+\pi/4000000$ рациональными дробями. Ясно, что можно обеспечить любую точность, увеличивая знаменатель. Но уже $1/2$ будет давать точность в одну миллионную. И дроби вида $n/2n$, все равные половинке, будут лидировать среди своих однознаменательников, пока знаменатель не станет больше миллиарда, например Хотя случайно это может случиться и раньше.
Вообще вспоминаются $\varepsilon$-сети и всё такое.

[Dmitriy40]

(Пара дробей)

gris в сообщении #1154515 писал(а):

Хотя случайно это может случиться и раньше.

Случайно или нет не знаю, но случилось: $159156/318311 \approx 0.5000015708$, ошибка менее $0.7854 \cdot 10^{-6}$.
Для чётного знаменателя дробь тоже имеется: $318311/636620$ даёт ошибку менее $0.7854 \cdot 10^{-6}$.
Ещё интересно что дробь $281068071/562135259$ даёт ошибку аж всего $\approx 8 \cdot 10^{-19}$ (и это лучшее приближение для знаменателей до миллиарда).