Целое среднее арифметическое

[Ktina]

(а)
Даны 2016 попарно различных натуральных чисел. Известно, что среднее арифметическое любых 13 из них является целым числом.
Каково наименьшее возможное значение наибольшего из этих 2016 чисел?

(б)
Даны 2016 попарно различных натуральных чисел. Известно, что если взять несколько из этих чисел с чётной суммой, то среднее арифметическое этих нескольких обязательно будет целым числом.
Каково в этом случае наименьшее возможное значение наибольшего из всех 2016 чисел?

[ИСН]

(а) Зафиксировав 12 чисел и перебирая 13-е, понимаем, что все числа одинаковы по модулю 13. Тогда минимальный набор - это $1,13+1,\dots,2015\cdot13+1$.

[Ktina]

ИСН
Только для того, чтобы доказать, что 12 зафиксированных чисел сравнимы по модулю 13 с остальными, придётся зафиксировать какие-то другие 12.

[ИСН]

Ну да, это само собой.

[Ktina]

ИСН
Небезыллюминационный интерес вызывает пункт (б).

[ИСН]

(б) Разложив нечётные числа в одну кучу, чётные в другую, и оперируя с ними подобным же образом, понимаем, что все нечётные одинаковы по модулям 2, 4, 6, и так до (сколько их - 1), а чётные - по модулям 2, 3, 4, и так тоже до (сколько их - 1). Чтобы не возиться с перекрёстным опылением (по-моему, оно слишком много портит), тупо сделаем все нечётными. Тогда это тоже будет арифметическая прогрессия, только с разностью $LCM(1,2,3\dots,1007)$.

[Ktina]

ИСН
А как быть с чётными суммами, в которых не все слагаемые одной чётности?

[ИСН]

А нету их же. Все числа нечётные.

[Ktina]

ИСН
Я про вот это:

ИСН в сообщении #1153445 писал(а):

(б) Разложив нечётные числа в одну кучу, чётные в другую, и оперируя с ними подобным же образом, понимаем, что все нечётные одинаковы по модулям 2, 4, 6, и так до (сколько их - 1), а чётные - по модулям 2, 3, 4, и так тоже до (сколько их - 1).

[ИСН]

Ну да, всё правда. Только куча с чётными числами - пустая.

[Ktina]

ИСН
Большое спасибо!