Диагональный метод Кантора

[Sinoid]

Здравствуйте! Вот в этом методе числа с нулем в периоде запрещены и вместо них рассматриваются числа с девятками в периоде. Насколько я понимаю, это для того, чтобы при расположении чисел одно под другим, одно и тоже число, записанное разными способами, не записать дважды. Верно? А вообще запись числа в виде бесконечной последовательности чисел нужна для того, чтобы при любом натуральном $n$ у $n-$го по счету сверху числа (которое обычно записывается конечной последовательностью цифр) на $n+1 -$ом месте (после запятой) обязательно была определена цифра, ему принадлежащая. Так ведь? А можно ли вместо этого соглашения принять другое, наоборот: запретить периоды из девяток и вместо них рассматривать числа, записи которых содержат ноли в периоде?

[iifat]

Самостоятельные-то попытки будут? Тем паче что в десятичной системе счисления мы можем вообще запретить не то что периодические, а вообще девятки с нулями...

[Sinoid]

iifat в сообщении #1153301 писал(а):

Самостоятельные-то попытки будут?

Так я, вроде, все, что думал, написал. А что еще? Я просто спросил, мое мнение по каждому вопросу верно или нет?

iifat в сообщении #1153301 писал(а):

Тем паче что в десятичной системе счисления мы можем вообще запретить не то что периодические, а вообще девятки с нулями...

А вот это интересно. Вот допустим, в бесконечном множестве действительных чисел из полуинтервала $(0\,,\,1]$ попалось, так сказать, конечное число 0,1 (в десятичной системе счисления). Тогда как без нулей и девяток в периоде записать его в виде бесконечной последовательности цифр?

[mihaild]

Sinoid в сообщении #1153304 писал(а):

конечное число 0,1 (в десятичной системе счисления). Тогда как без нулей и девяток в периоде записать его в виде бесконечной последовательности цифр?

Нет такого числа. Если строить действительные числа как десятичные дроби - то там по определению все последовательности бесконечные (и нет последовательностей, в которых с какого-то места идут только девятки). А $0.1$ - это просто сокращение для $0.1000000\ldots$.

Вообще, надо понимать, что есть два разных утверждения: о несчетности последовательностей из цифр, и о несчетности отрезка $[0; 1]$. Один из способов доказательства второго утверждения - вложить отрезок в последовательности так, чтобы осталось непокрытым счетное множество, воспользоваться первым утверждением, и сказать, что если выкинуть из несчетного множества счетное, то останется несчетное.

[iifat]

Sinoid в сообщении #1153304 писал(а):

Тогда как без нулей и девяток в периоде записать его в виде бесконечной последовательности цифр?

Мы таки про диагональный метод Кантора, или где? Если таки первое, то, напоминаю: вам нужно построить число, отличающееся от 0,1 в каждом разряде, без нулей и девяток правее запятой. Ну, приблизительно. Диагональный метод имеет дело, естественно, с диагональю...

[Sinoid]

mihaild в сообщении #1153308 писал(а):

(и нет последовательностей, в которых с какого-то места идут только девятки).

А тогда вот это

что? Да, там конечная запись числа 0,438 заменяется бесконечной 0,48300..., но потом-то эта запись заменяется на бесконечную с повторяющимися девятками. Или это пишется в расчете на читателя со школьным представлением о действительном числе, для которого девятки в периоде - привычное дело?

[mihaild]

Есть разные определения. "Обычно" запрещают бесконечные последовательности девяток. Можно с тем же успехом запретить бесконечные последовательности нулей. Или даже брать в качестве вещественных чисел не сами последовательности, а одно- или двухэлементные множества последовательностей (для десятично-рациональных чисел - двухэлементные, для остальных - одноэлементные). Эти подходы отличаются не слишком существенными техническими деталями.

[gris]

А вроде бы можно рассмотреть подмножество чисел, в десятичной записи которых есть только двойки и тройки. Тут уж никаких повторов не будет. И диагональным способом для любой нумерации получить противоречие. Если подмножество не счётно, то и всё множество несчётно

[Sinoid]

iifat в сообщении #1153314 писал(а):

Если таки первое, то, напоминаю: вам нужно построить число, отличающееся от 0,1 в каждом разряде, без нулей и девяток правее запятой

Мне нужно построить число, отличное не от одного, а от бесконечного множества чисел, среди которых, возможно, есть 0,1. Для этого достаточно построить (возможно) число, отличное от 0,1 не во всех, а только в одном разряде.

mihaild в сообщении #1153325 писал(а):

"Обычно" запрещают бесконечные последовательности девяток. Можно с тем же успехом запретить бесконечные последовательности нулей.

Именно это я и хотел услышать. А мне же, напротив, пока попадались диагональные методы лишь с запретами на нули в периоде.

mihaild в сообщении #1153308 писал(а):

Вообще, надо понимать, что есть два разных утверждения: о несчетности последовательностей из цифр, и о несчетности отрезка $[0; 1]$.

Да, но только между объектами этих утверждений можно установить взаимно-однозначное соответствие, так что доказательство одного утверждения будет автоматом означать доказательство второго. Не так ли?

[arseniiv]

Sinoid в сообщении #1153331 писал(а):

Да, но только между объектами этих утверждений можно установить взаимно-однозначное соответствие

Из-за бесконечных нулей и девяток нельзя.

[mihaild]

arseniiv в сообщении #1153332 писал(а):

Из-за бесконечных нулей и девяток нельзя.

Можно конечно, они же равномощны:-)

[arseniiv]

Ой, чёрт, я хотел сказать, что это не та биекция, которая связана с десятичной записью.

[tolstopuz]

Sinoid в сообщении #1153320 писал(а):

Да, там конечная запись числа 0,438 заменяется бесконечной 0,48300...

Нет, это одна и та же запись. Как вам уже объясняли, в записи $0,483$ для понятности пропущен хвост нулей в конце, но на самом деле он есть.

Терминология Клини подпорчена переводом. Любое действительное число представляется в виде бесконечной (infinite) десятичной дроби. Бесконечная десятичная дробь с хвостом нулей (то есть с конечным числом ненулевых цифр) называется конечной (terminating), а без хвоста нулей - правильной бесконечной (nonterminating).

[Sinoid]

Дурацкая идейка пришла... А что, если в десятичной записи каждого натурального числа перед ним написать бесконечное количество нулей. Тогда получается... У меня даже язык не поворачивается это сказать. Натуральный ряд несчетен или что?

[gris]

Если только нули, то это не страшно. Нуль же нельзя поменять на другую цифру, как в диагональном методе. А если не только нули, то это будут уже не натуральные числа, а бесконечные последовательности из элементов конечного множества (т.е. цифр). Их множество несчётно.