однофакторный дисперсионный анализ без повторений

[AndreyL]

Друзья!

Возникла такая задачка - есть серия измерений, каждое измерение характеризуется значением измерения и ошибкой этого измерения. Формально можно представить, что каждое измерение является нормально распределенной случайной величиной с известными средним и дисперсией. Как понять, могут ли все эти измерения быть измерением одной и той же величины? По идее эта задача аналогична задаче однофакторного дисперсионного анализа (гипотеза о равенстве нескольких средних), но без повторных измерений и при разных (известных) дисперсиях. Подскажите, пожалуйста, как в таком случае будет выглядеть критерий?

[Евгений Машеров]

"Ошибка измерения" - это стандартное отклонение (или дисперсия) или просто какая-то относительная мера ошибки?

[AndreyL]

Извиняюсь за молчание!

Ошибка измерения это стандартное отклонение, наверное, лучше сказать погрешность. Т.е. сама ошибка конкретного измерения подчиняется нормальному распределению с центром 0 и стандартным отклонением, равным погрешности этого измерения.

[AndreyL]

Похоже я перемудрил. Пока получается так: если есть $n$ измерений $x_i,i=1..n$, каждое $i$-е измерение сделано с погрешностью $\sigma_i$ в предположении нормальности ошибки измерения, то среднее считаем как $\bar{x}=\sum_{i=1}^n \frac{x_i}{\sigma_i^2}/\sum_{i=1}^n \frac{1}{\sigma_i^2}$. Тогда, если все эти измерения есть измерения одной и той же величины, а отклонения от этой величины обусловлены только погрешностью измерения (а эти погрешности известны), иными словами все $x_i$ есть реализации нормального распределения с одинаковым центром и известными дисперсиями, то статистика $\chi^2=\sum_{i=1}^n \frac{\left(x_i-\bar{x} \right)^2}{\sigma_i^2}$ подчиняется распределению хи-квадрат с $n-1$ степенями свободы. Можно ли использовать это как критерий равенства всех измерений в пределах погрешностей?

[Евгений Машеров]

Честно говоря, как практик, я так бы и поступил. Но смущают две вещи. Если среднее считается, как взвешенное, там точно одна степень свободы вычитается (хотя при большом числе наблюдение это должно быть неважно). И второе - такое ощущение, что оценки точности измерений в лучшем случае относительно правильно оценены, а действительная дисперсия их отличается от имеющейся оценки точности в некоторое количество раз.

[AndreyL]

Евгений Машеров в сообщении #1157454 писал(а):

Если среднее считается, как взвешенное, там точно одна степень свободы вычитается (хотя при большом числе наблюдение это должно быть неважно).

Да, одна степень свободы вычитается. Я не совсем понял, что Вас смутило?

Евгений Машеров в сообщении #1157454 писал(а):

И второе - такое ощущение, что оценки точности измерений в лучшем случае относительно правильно оценены, а действительная дисперсия их отличается от имеющейся оценки точности в некоторое количество раз.

Будем считать, что аналитики правильно выдают погрешность конкретного измерения. Реально они проводят несколько измерений, потом осредняют и считают погрешность.

Вопрос в том, насколько корректно применять такой критерий?