2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Гармонический ряд простых чисел
Сообщение21.09.2016, 12:57 
Как известно, гармонический ($s=1$) ряд простых чисел $p_n$ расходится как:
$$\sum\limits_{p_n<x}^{}\frac{1}{p_n}\sim \log\log(x)$$
Используя тождество Эйлера, вроде бы, можно получить, что что сумма обратных степеней простых чисел $p^s_n$ в диапазоне $0<s<1$, расходится как:
$$\sum\limits_{p_n<x}^{}\frac{1}{p^s_n}\sim (1-s)\log(x)$$ Верно ли второе соотношение и в частности, когда $s$ стремится к нулю?

 
 
 
 Re: Гармонический ряд простых чисел
Сообщение23.09.2016, 00:16 
Получил такую оценку:
Обозначим
$\[\begin{gathered}
  s = \frac{1}{{{p_1}}} + \frac{1}{{{p_2}}} + ... \hfill \\
  a = \frac{1}{1} + \frac{1}{2} + ... \hfill \\ 
\end{gathered} \]$
Рассмотрим такое произведение:
$\[\left( {1+\frac{1}{{{p_1}}} + \frac{1}{{{p_2}}} + ...} \right)\left( {1+\frac{1}{{{p_1}}} + \frac{1}{{{p_2}}} + ...} \right)...\left( {1+\frac{1}{{{p_1}}} + \frac{1}{{{p_2}}} + ...} \right)\]$
(скобок - $\[n\]$ штук)
Заметим, что каждое произведение будет повторяться не более, чем $\[n!\]$ раз.
Тогда:
{\lim _{n \to \infty }}\frac{{{{(s + 1)}^n}}}{{n!}} \leqslant a
Верна ли эта оценка?

-- 23.09.2016, 00:19 --

druggist в сообщении #1153242 писал(а):
Верно ли второе соотношение и в частности, когда $s$ стремится к нулю?

Думаю, что нет:
Т.к. $\[{\lim _{n \to \infty }}\frac{{\log x}}{x} = 0\]$

 
 
 
 Re: Гармонический ряд простых чисел
Сообщение23.09.2016, 00:43 
druggist
Используйте преобразование Абеля и найдете правильную асимптотику, это вроде несложная задача.
При $s=0$ у Вас же будет просто количество простых чисел.

 
 
 
 Re: Гармонический ряд простых чисел
Сообщение23.09.2016, 01:09 
Аватара пользователя
druggist в сообщении #1153242 писал(а):
Как известно, гармонический ($s=1$) ряд простых чисел $p_n$ расходится

sa233091 в сообщении #1153749 писал(а):
Обозначим
$$\[\begin{gathered}
 s = \frac{1}{{{p_1}}} + \frac{1}{{{p_2}}} + ... \hfill \\
 a = \frac{1}{1} + \frac{1}{2} + ... \hfill \\ 
\end{gathered} \]$$

:facepalm:

 
 
 
 Re: Гармонический ряд простых чисел
Сообщение23.09.2016, 01:35 
Brukvalub в сообщении #1153770 писал(а):
druggist в сообщении #1153242 писал(а):
Как известно, гармонический ($s=1$) ряд простых чисел $p_n$ расходится

sa233091 в сообщении #1153749 писал(а):
Обозначим
$$\[\begin{gathered}
 s = \frac{1}{{{p_1}}} + \frac{1}{{{p_2}}} + ... \hfill \\
 a = \frac{1}{1} + \frac{1}{2} + ... \hfill \\ 
\end{gathered} \]$$

:facepalm:

Ну можно просто обозначить сумму некоторого кол-ва слагаемых этих рядов. А далее тоже самое сделать, только рассмотреть пределы при кол-ве членов бесконечно большом

 
 
 
 Re: Гармонический ряд простых чисел
Сообщение23.09.2016, 02:31 
DiMath в сообщении #1153759 писал(а):
При $s=0$ у Вас же будет просто количество простых чисел.

Да, согласен, конечно же при $s=0$ будет функция распределения простых чисел, чушь написал.
Насчет асимптотики. Если взять "плотность простых чисел" как $\rho(t) = 1/ \log(t)$ умножить на $1/t^s$ и проинтегрировать от двойки до $x$, то, вроде бы, получается как надо.

 
 
 
 Re: Гармонический ряд простых чисел
Сообщение23.09.2016, 09:22 
druggist
А с чего Вы решили, что нужно делать именно так, а не как-то иначе, и что то, что Вы получите будет хоть как-то связано с исходной суммой? Если из вероятностных соображений - забудьте. Таким способом можно объяснить для себя лично уже известный верный результат, но ничего более.
Я уже написал Вам: примените преобразование Абеля.

 
 
 
 Re: Гармонический ряд простых чисел
Сообщение23.09.2016, 09:25 
Аватара пользователя
sa233091 в сообщении #1153776 писал(а):
Ну можно просто обозначить сумму некоторого кол-ва слагаемых этих рядов. А далее тоже самое сделать, только рассмотреть пределы при кол-ве членов бесконечно большом

Покажите, пожалуйста, этот метод во всех подробностях, а то я начал так делать и запутался! :oops:

 
 
 
 Re: Гармонический ряд простых чисел
Сообщение23.09.2016, 09:29 
sa233091 в сообщении #1153749 писал(а):
{\lim _{n \to \infty }}\frac{{{{(s + 1)}^n}}}{{n!}} \leqslant a
Верна ли эта оценка?

На расширенной числовой прямой, безусловно :lol: (ибо у Вас $a=\infty$)

 
 
 
 Re: Гармонический ряд простых чисел
Сообщение23.09.2016, 10:52 
То есть $\[{S_n} \sim \sqrt[n]{{{A_n}n!}} - 1\]$

 
 
 
 Re: Гармонический ряд простых чисел
Сообщение23.09.2016, 12:02 
:facepalm:

 
 
 
 Re: Гармонический ряд простых чисел
Сообщение23.09.2016, 12:17 
DiMath в сообщении #1153759 писал(а):
Используйте преобразование Абеля и найдете правильную асимптотику, это вроде несложная задача.
Можно так: заменяем $p_n$ на ее асимптотику, $p_n<x \Leftrightarrow n<\pi(x)$, поскольку выражение под суммой меняется медленно, значит сумму можно заменить на интеграл, взять интеграл.

 
 
 
 Re: Гармонический ряд простых чисел
Сообщение23.09.2016, 18:33 
sa233091 в сообщении #1153841 писал(а):
То есть $\[{S_n} \sim \sqrt[n]{{{A_n}n!}} - 1\]$

Ой, точно. Извините, написал бред

 
 
 
 Re: Гармонический ряд простых чисел
Сообщение09.10.2016, 23:33 
Асимптотика суммы при $x\to \infty$, очевидно, должна быть функцией двух переменных, $x$ и $s$ :
$$\sum\limits_{p\leqslant x}^{}\frac{1}{p^s}=F(x, s)$$
Однако же для суммы степеней простых чисел эта функция примечательна наличием автомодельности, а именно, если обозначить $\pi (x)$ - функцию распределения простых чисел (prime counting function), то для асимптотики суммы, по-видимому, будем иметь:
$$F(x, s)=\sum\limits_{p\leqslant x}^{}\frac{1}{p^s}=\pi(x^{1/(1-s)})$$
Эта формула подтверждаетсяся экспериментально в диапазоне $0\leqslant s <1$ и следует из известного приближения $ \pi(x)$ интегральным логарифмом. Очевидно, про это свойство должно быть где-то написано, хотелось бы почитать.

 
 
 
 Re: Гармонический ряд простых чисел
Сообщение24.12.2016, 22:33 
Прошу прощения, конечно же в последнем сообщении ошибка в формуле, правильно так:
$$F(x, s)=\sum\limits_{p\leqslant x}^{}\frac{1}{p^s}=\pi(x^{(1-s)})$$

 
 
 [ Сообщений: 15 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group