системы счисления

[assik]

Найдите минимальное основание системы счисления, в которой число 2010^2010+1 записывается одинаковыми цифрами.

[sa233091]

У меня получилось 2010 в квадрате

-- 21.09.2016, 13:14 --

Пусть основание системы счисления - $\[b\]$, цифра - $\[a\]$, кол-во цифр - $\[n\]$. Тогда $\[{2010^{2010}} + 1 = a(1 + b + {b^2} + ... + {b^{n - 1}})\]$.
$\[{2010^{2010}} + 1 = {2010^{2010}} + {1^{2010}} = (2010 + 1)({2010^{2009}} - {2010^{2008}} + ... - 1) = 2011({2010^{2008}}(2010 - 1) + {2010^{2006}}(2010 - 1) + ... + 1(2010 - 1)) = 2009 \cdot 2011({({2010^2})^{1004}} + {({2010^2})^{1003}} + ... + {({2010^2})^0})\]$
Докажем, что здесь основание системы минимальное: $\[a < b\]$. Когда $\[b - a = 1\]$ - это придельный случай. Как раз его мы и получили.
$\[2009 \cdot 2011 = {2010^2} - 1 < {2010^2}\]$
Значит $\[\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {b = {{2010}^2}} \\ {a = 2009 \cdot 2011} \\ {n = 1005} \end{array}} \right.\]$

[assik]

$2010^{2010} + 1^{2010}}= (2010 + 1)({2010^{2009}} - {2010^{2008}} + ... - 1)$ Верно?

[Батороев]

sa233091 в сообщении #1153241 писал(а):

У меня получилось 2010 в квадрате

В системе $2010$ число $2010^{2010}$ записывается, как единица с $2010$ нулями. В системе $2010^2$ это же число будет выглядеть так же, как единица с нулями, но числом в два раза меньшим, чем в первом случае.

[venco]

assik в сообщении #1153302 писал(а):

$2010^{2010} + 1^{2010}}= (2010 + 1)({2010^{2009}} - {2010^{2008}} + ... - 1)$ Верно?

Нет. Так раскладываются только нечётные степени.

[sa233091]

Ой, точно.

-- 22.09.2016, 00:50 --

Спасибо, что указали на ошибку

[kotenok gav]

А какой правильный ответ?

[assik]

kotenok gav в сообщении #1155430 писал(а):

А какой правильный ответ?

Ну пока есть только один очевидный вариант 11 когда основание $p=2010^Х2010Ъ$. Не знаю есть ли другие варианты.

[covax]

А основание 1 не подойдет?

[arseniiv]

Основание 1 не подойдёт, потому что обычной позиционной системы счисления с цифрами $\{0,\ldots,b-1\}$ для $b=1$ не бывает.

[kotenok gav]

Почему? В ней будет цифра 0.

[Dmitriy40]

kotenok gav
В ней не запишешь требуемого числа $2010^{2010}+1$, да собственно и никакого числа кроме $0$.

[kotenok gav]

Dmitriy40 в сообщении #1159911 писал(а):

kotenok gav
В ней не запишешь требуемого числа $2010^{2010}+1$, да собственно и никакого числа кроме $0$.

Как раз наоборот: Только ноль там записать нельзя

$$1_{10}=0_1$$

$$2_{10}={00}_1$$

$$3_{10}={000}_1$$

[Dmitriy40]

kotenok gav
Это не позиционная система счисления.

[arseniiv]

Такая система (с цифрами $1..b$)¹ в случае $b>1$ всё же явно позиционная, так что, в принципе, даже унарная — позиционная (просто выбора значений для разрядов у нас нет — ср. с константными случайными величинами и постоянными периодическими функциями), но это не та позиционная система, к которой мы привыкли. Потому я аккуратно выбирал слова в предыдущем посте:

arseniiv в сообщении #1157562 писал(а):

обычной позиционной системы счисления с цифрами $\{0,\ldots,b-1\}$

Не знал я только, что надо было упомянуть, что значение числа, представляемого строкой $\alpha\in(0..b-1)^*$, должно быть равно тоже традиционному выражению $\sum_{i=0}^{|\alpha|} b^i\alpha_i$, чтобы пресечь понимание нуля как единицы.

¹ Т. н. биективная (термин неудачный, но какой есть).