линейные комбинации элементов которых плотны в исходном пространстве
Колмогоров же определяет ее как ту, наименьшим замкнутым пространством, содержащим которую, является всё пространство? Упражнение: доказать, что это эквивалентные определения (можно более-менее явно описать, как выглядит наименьшее замкнутое пространство, содержащее данное множество векторов).
как можно показать, что ненулевых коэффициентов Фурье не более чем счётно
Для начала - стандартная задача. Пусть у нас есть множество

(произвольной мощности) и отображение

, такое, что

- конечен. Докажите, что

для не более чем счетного числа элементов

(подсказка: если элемент больше нуля, то он больше

для некоторого натурального

).