О замкнутости и полноте системы функций

[Evgenii2012]

Уважаемые коллеги ! Разрешите обсудить с Вами следующий вопрос. В книге Колмогорова-Фомина я обнаружил (общеизвестное) утверждение о эквивалентности полноты и замкнутости ортонормированных систем функций в сепарабельных гильбертовых пространствах. В этом утверждении присутствует условие сепарабельности пространства, которое вроде бы вообще не используется в доказательстве. Вопрос: нужно ли требовать сепарабельность в этом утверждении ?

На всякий случай хотел бы обратить Ваше внимание, что это слово опущено в некоторых книгах других авторов (например, в учебнике Березанского, Уса и Штефеля по Функциональному анализу). Заранее благодарен за Ваше мнение.

[mihaild]

Сепарабельность используется при выписывании ряда Фурье, например.
Без нее можно обойтись, но нужно аккуратно сформулировать равенство Парсеваля, и немного повозиться с доказательством (показать, что если ортонормированная система полна, то вектор раскладывается в ряд по ней).

[g______d]

Там в упражнениях в конце раздела III.4.5 описан несепарабельный случай. С выписыванием ряда Фурье проблем нет, потому что даже в несепарабельном гильбертовом пространстве у каждого элемента может быть не более чем счётное количество ненулевых коэффициентов Фурье (если это там не объяснено, то это несложное упражнение на неравенство Бесселя).

[Evgenii2012]

Большое спасибо за обстоятельные ответы. Однако, тогда получается, что дело в различных определениях полной системы функций в разных книгах. То есть, если определять, как у Березанского, полную систему функций как систему, линейные комбинации элементов которых плотны в исходном пространстве, то это не есть (строго говоря) точно такое же определение полной системы, как у Колмогорова. Или же это эквивалентные определения ?

[Evgenii2012]

g______d, и ещё , я не очень, если честно, понял, как можно показать, что ненулевых коэффициентов Фурье не более чем счётно. Если можно, ещё раз расскажите или дайте подсказку.

[mihaild]

Evgenii2012 в сообщении #1153215 писал(а):

линейные комбинации элементов которых плотны в исходном пространстве

Колмогоров же определяет ее как ту, наименьшим замкнутым пространством, содержащим которую, является всё пространство? Упражнение: доказать, что это эквивалентные определения (можно более-менее явно описать, как выглядит наименьшее замкнутое пространство, содержащее данное множество векторов).

Evgenii2012 в сообщении #1153238 писал(а):

как можно показать, что ненулевых коэффициентов Фурье не более чем счётно

Для начала - стандартная задача. Пусть у нас есть множество $A$ (произвольной мощности) и отображение $A \to \mathbb{R}$, такое, что $\sup\limits_{B \subseteq A, |B| < \infty} \sum\limits_{x \in B} |f(x)|$ - конечен. Докажите, что $f(x) \neq 0$ для не более чем счетного числа элементов $A$ (подсказка: если элемент больше нуля, то он больше $\frac{1}{n}$ для некоторого натурального $n$).