Раскраска в наименьшее число цветов и даровитые числа

[Ktina]

Ксюша хочет покрасить каждое натуральное число в какой-нибудь цвет таким образом, чтобы любые два числа, разность которых -- даровитое число, были покрашены в разные цвета. Каким наименьшим количеством цветов может обойтись Ксюша?

(даровитым числом назовём натуральное число вида

$$n!+1,\quad n\in\mathbb{N}$$

)

[svv]

Все даровитые числа, кроме $2$, нечётные, поэтому, если мы забудем про $2$, достаточно чётныe покрасить в один, а нечётные в другой цвет.
Если использовать один из четырёх цветов исходя из остатка от деления на $4$, то и числа с разностью $2$ будут разных цветов.

Так что четырёх цветов хватает. Двух же — точно нет. Интересно, нельзя ли каким-то чудом обойтись тремя?

[svv]

Во всяком случае, периодические раскраски тремя цветами невозможны.

Пусть существует периодическая раскраска с периодом $N$.
При $n\geqslant N$ будет $(n!+1)\operatorname{mod}N=1$.
$\Rightarrow$ для $n\geqslant N$ цвет числа $a+(n!+1)$ такой же, как цвет $a+1$.
$\Rightarrow$ любое число $a$ отличается по цвету от $a+1$, от $a+(1!+1)=a+2$ и от $a+(2!+1)=a+3$.
$\Rightarrow$ из четырёх последовательных чисел все разных цветов.