Неравенство 7.

[TR63]

Прошу проверить решение.
Доказать, что для неотрицательных (a,b,c) из условия
$a^2+b^2+c^2\ge a^3+b^3+c^3$
следует, что
$3+(a^2+b^2+c^2)\ge2(a^4+b^4+c^4)$

Обозначим $b^2+c^2=\alpha^2$.

$b+c\ge(b^2+c^2)^{\frac1 2}=\alpha$

$b^3+c^3=(b+c)(b^2-bc+c^2)\ge\alpha^3$

$b^4+c^4\le\alpha^4$

Перепишем условие.
Доказать, что из $a^2+b^2+c^2=a^2+\alpha^2\ge a^3+b^3+c^3\ge a^3+\alpha^3$, следует, что

$3+(a^2+\alpha^2)\ge2(a^4+\alpha^4)$ (Это усиленное неравенство; если оно верно, то верно исходное.)

$\alpha^3-\alpha^2+(a^3-a^2)\le0$ $\to$ $a^3-a^2\le\frac{4}{27}$, т.к. иначе
$\alpha^3-\alpha^2+\beta>0$, при $\beta>\frac{4}{27}$. Тогда $a^4<\frac3 2$.

$(2a^4-3)-(a^2-\alpha^4)+(\alpha^4-\alpha^2)\le0$

т.к. $a^4<\frac3 2$; $a\ge1$; $\alpha\le1$, поскольку $(a;\alpha)$ не могут быть одновременно больше единицы. Случай, когда они одновременно меньше единицы, тривиален. Раз получили, что верно усиленное неравенство, значит верно и исходное.
Пересчитала:
$a^4<1.56$
Перебор. Получается не полное решение даже при $c=0$.

[svv]

TR63 в сообщении #1152682 писал(а):

$b^3+c^3=(b+c)(b^2-bc+c^2)\ge\alpha^3$

Ошибка. Должно быть $\le\alpha^3$.
Возьмём, скажем, $\alpha=1, b=\cos t, c=\sin t$. Но $\cos^3 t+\sin^3 t\leqslant 1$.

[TR63]

Согласна, что ошибка есть.

-- 19.09.2016, 17:42 --

Попробуем сделать другое обозначение:
$b^3+c^3=\alpha^3$

$(b^2+c^2)^{\frac1 2}\ge(b^3+c^3)^{\frac1 3}=\alpha>(b^4+c^4)^{\frac1 4}$ $\to$ $b^4+c^4<\alpha^4$

$a^2+\alpha^2\ge a^3+\alpha^3$

$3+(a^2+\alpha^2)\ge2(a^4+\alpha^4)$

Далее прежние выкладки. Получается решение усиленного неравенства, но не во всей области определения: для $a^4\le\frac3 2$, надо для $a^4<1.56$.
У нас неравенство типа параболы. Значит, если на концах промежутка знак меньше, то и внутри промежутка знак будет меньше. Остаётся проверить знак на правом конце промежутка $1\le a^2\le\max a^2$.

[TR63]

TR63 в сообщении #1152695 писал(а):

Получается решение усиленного неравенства, но не во всей области определения: для $a^4\le\frac3 2$, надо для $a^4<1.56$

По поводу усиленного сомнительно. Поэтому рассмотрим другую идею, начав с самого начала.

TR63 в сообщении #1152682 писал(а):

Доказать, что для неотрицательных (a,b,c) из условия
$a^2+b^2+c^2\ge a^3+b^3+c^3$
следует, что
$3+(a^2+b^2+c^2)\ge2(a^4+b^4+c^4)$

Достаточно рассмотреть случай $b\ge a\ge c$, $b\ge1$, т.к. другие случаи просты.
$a=mb$, $c=nb$, $m\le1$, $n\le1$. Подставив в условие, получим, что в новых переменных надо доказать неравенство
$2(m^4+n^4+1)b^4-(m^2+n^2+1)b^2-3\le0$
$1\le b^2\le(\frac{m^2+n^2+1}{m^3+n^3+1})^2$

$m^2+n^2\ge m^3+n^3$
Это параболическое неравенство. Переменные (m;n) не зависят от переменной (b). Поэтому достаточно исследовать его на концах промежутка.
1). $b=1$ (этот случай тривиален).
$(m^4-m^2+m^4-1)+(n^4-n^2+n^4-1)\le0$
2). На правом конце, получим неравенство
$2(m^4+n^4+1)(m^2+n^2+1)^4-(m^2+n^2+1)^3(m^3+n^3+1)^2-3(m^3+n^3+1)^4\le0$
$(\frac{m^4+n^4+1}{m^3+n^3+1})^2(\frac{m^2+n^2+1}{m^3+n^3+1})^5\le1$? (это усиленное неравенство, получено с помощью АМ-ГМ; если оно верно в некоторой области (но существует ли не тривиальная область), то в этой области верно исходное неравенство).

[TR63]

TR63 в сообщении #1160007 писал(а):

доказать неравенство
$2(m^4+n^4+1)b^4-(m^2+n^2+1)b^2-3\le0$
$1\le b^2\le(\frac{m^2+n^2+1}{m^3+n^3+1})^2$

$m^2+n^2\ge m^3+n^3$
Это параболическое неравенство. Переменные (m;n) не зависят от переменной (b). Поэтому достаточно исследовать его на концах промежутка.

1). Здесь у меня сомнение, являются ли переменные (m;n) не зависящими от (b). Т.е., достаточно ли исследования на концах промежутка. Прошу разъяснить этот вопрос.

Я понимаю так, если есть условие, например, $m+n+b=k$, то переменные (m;n;b) являются зависимыми. Если, например, условие имеет вид $m+n+b>k$, то не все переменные (m;n;b) являются зависимыми.

[TR63]

TR63 в сообщении #1160231 писал(а):

Если, например, условие имеет вид $m+n+b>k$, то не все переменные (m;n;b) являются зависимыми

Но, сама по себе, только частичная зависимость переменных, возможно, не даёт право пользоваться свойством параболы. Но, если это условие (или какое-то другое, например, как рассматриваемое в исходном неравенстве) является нормальным делителем, т. е. условия достаточно для доказательства исходного неравенства в большей области (например, исходное неравенство было неравенством типа однородного), тогда к полученному неравенству параболического типа можно, по крайней мере гипотетически, применять свойство параболы. Затем у нас получился многочлен четвёртой степени, имеющий условие типа нормального делителя, с одним положительным корнем. Тогда гипотетически можно применить свойство, имеющее место в одномерном случае. Выкладки там элементарны. Всё сходится. Пока арифметика не интересует. Интересует логическая сторона вопроса. Остаётся найти контрпример к предложенной гипотезе. (Это ещё грубая формулировка (надо сделать замечание о задействованных операциях). Но думаю, что сама идея сформулирована понятным образом.)

[TR63]

Ещё надо выяснить, как влияет отсутствие перестановочного свойства в исходном неравенстве (прообразе) (в примерах, рассмотренных ранее это свойство имелось плюс наличие нормального делителя) на справедливость гипотезы для неравенства, полученного в результате преобразований. Для этого можно рассмотреть пример функции, имеющей нормальный делитель, но не перестановочной:
$f(z,x,y)=z^2x^5-y^7$
$z+x+y=3$, $z\ge0$, $x\ge0$, $y>0$.
$f(z=3-y-x)=x^7-2(3-y)x^6+(3-y)^2x^5-y^7\le0$ при $0<x+y\le3$
Гипотетическое решение с использованием предложенной гипотезы тривиально. Но, чтобы сделать вывод относительно справедливости этого неравенства, нужно иметь классическое решение (без всяких гипотез). Если это неравенство не верно, то в гипотезу надо добавить наличие у исходной функции перестановочного свойства.
Прошу помочь доказать или опровергнуть это неравенство.

[grizzly]

TR63 в сообщении #1161318 писал(а):

$f(z=3-y-x)=x^7-2(3-y)x^6+(3-y)^2x^5-y^7\le0$ при $0<x+y\le3$

Не могу понять, о чём Вы спрашиваете, но данное неравенство не выполняется при $x=1, y=0{,}5$, например. Вам такой пример был нужен?

[TR63]

grizzly в сообщении #1161331 писал(а):

Вам такой пример был нужен?

grizzly, да. Спасибо.

grizzly в сообщении #1161331 писал(а):

Не могу понять, о чём Вы спрашиваете

Не могу и не хочу? Или не могу? Ладно. Это, не суть как важно. Главное, имеется контрпример. Т. е. в условие гипотезы следует добавить наличие перестановочного свойства у исходной функции. И далее разбираться с функциями, имеющими перестановочное свойство и нормальный делитель. Но это уже будет отдельная задача. Главное, что я разобралась в возникшем у меня вопросе.

[grizzly]

(TR63)

TR63 в сообщении #1161347 писал(а):

Не могу и не хочу? Или не могу?

Скорее первое :) Я пошёл по пути наименьшего сопротивления.