Задача о 300 палочках

[Ktina]

Есть 100 красных, 100 жёлтых и 100 зелёных палочек. Известно, что из любых трёх палочек трёх разных цветов можно составить треугольник.
Докажите, что найдётся такой цвет, что из любых трёх палочек этого цвета можно составить треугольник.
(Авторы: Жуков Г., Косинов Н.)

Моя идея решения такова:
Возьмём из палочек каждого цвета самую маленькую, и из получившихся трёх выберем две наименьших. Пусть, без ограничения общности, это будут красная и жёлтая палочки. Тогда сумма их длин должна превышать длину самой большой зелёной, в противном случае условие задачи было бы нарушено.
Теперь заменим красную и жёлтую палочки на две самых маленьких зелёных. Суммарная длина двух палочек вследствие замены не уменьшится, следовательно, у нас снова получится треугольник, на сей раз целиком зелёный, а это и будет означать, что найдётся такой цвет, что из любых трёх палочек этого цвета можно составить треугольник.
Ч. Т. Д.

Если моё решение верно, а мне кажется, что оно верно (или мне это только лишь кажется?), то оно, на мой взгляд, лучше официального, поскольку не требует от решающего уметь складывать неравенства, а значит, эту задачу можно давать не только в 8-9 классах, но и в 6-7, и даже раньше.

Пожалуйста, помогите разобраться.
Заранее спасибо!

[worm2]

Ktina писал(а):

Теперь заменим красную и жёлтую палочки на две самых маленьких зелёных. Суммарная длина двух палочек вследствие замены не уменьшится...

Нет ли здесь неявного сложения неравенств?

[wrest]

Ktina в сообщении #1152496 писал(а):

Теперь заменим красную и жёлтую палочки на две самых маленьких зелёных.

Ktina в сообщении #1152496 писал(а):

найдётся такой цвет, что из любых трёх палочек этого цвета можно составить треугольник.

Вы берете две самых маленьких зеленых палочки, и утверждаете потом что треугольник можно составить из любых трех зеленых. Помойму, это больше похоже на то, что $\exists x_1,x_2,x_3 | x_1x_2x_3$ - треугольник а не $\forall x_1,x_2,x_3 | x_1x_2x_3$ - треугольник

[Ktina]

wrest в сообщении #1152621 писал(а):

Вы берете две самых маленьких зеленых палочки, и утверждаете потом что треугольник можно составить из любых трех зеленых. Помойму, это больше похоже на то, что $\exists x_1,x_2,x_3 | x_1x_2x_3$ - треугольник а не $\forall x_1,x_2,x_3 | x_1x_2x_3$ - треугольник

По-моему, треугольник, это когда сумма любых двух сторон больше третьей. Если две самые маленькие палочки в сумме длиннее самой большой, разве может найтись палочка, которая будет больше суммы каких-то двух? Или я не понимаю чего-то?

[wrest]

Ktina в сообщении #1152676 писал(а):

По-моему, треугольник, это когда сумма любых двух сторон больше третьей. Если две самые маленькие палочки в сумме длиннее самой большой, разве может найтись палочка, которая будет больше суммы каких-то двух?

Нет, не может, просто этот шаг в доказательстве опущен, именно на это я обратил внимание.