Теорема Гильберта о базисе

[Duelist]

Ниже доказательство теоремы Гильберта из «Алгебры» Ленга.





У меня вопрос: я правильно понимаю, что можно отбросить окончание доказательства, начиная со слов в самом низу первого листа: "По индукции мы можем найти такой многочлен $g$..."? Потому что там уже фактически доказано по индукции, что если теорема выполняется для всех многочленов из идеала $\mathfrak{U}$ степени меньше $d$, то она выполняется для всех многочленов из идеала $\mathfrak{U}$ степени $d$. Осталась только база индукции. В качестве неё можно взять многочлены из идеала $\mathfrak{U}$ нулевой степени: они порождаются многочленами (константами) $a_{01} \dots a_{0n_{0}}$.

[vpb]

Нет, отбрасывать последнюю фразу не стоит. Она играет роль закрывающей скобки. Вопрос этот, собственно говоря, не
математический, а по методике изложения, причем довольно тонкий. Любое изложение, заметьте, так или иначе неформально.
Поэтому не стоит обращать внимание на такие мелочи.
Один скажет так, другой этак, возможны всякие варианты, общего стандарта не существует. Действительно, у Ленга в этом
месте маленькая-маленькая шероховатость (не обозначена явно база индукции), но это никакого значения не имеет.
Ленг --- признанный мастер писания книг.

Кстати, я сам когда-то (и долго) считал, что большая буква, которую Ленг для обозначения идеала использует --- это U
(готическое). А на самом деле это A.

[Duelist]

(Оффтоп)

vpb в сообщении #1152483 писал(а):

Ленг --- признанный мастер писания книг.

Ленг + Винберг лучше по-моему. У Ленга не хватает примеров, а у Винберга их изобилие. С другой стороны, у Ленга изложение более мощное и полное. Линейную алгебру читаю отдельно по Кострикину-Манину. Анализ по «Лекциям» Львовского, (что превратилось в начале в изучение основ общей топологии и метрической геометрии) дополняя местами Зоричем и Колмогоровым-Фоминым. Начал в этом году учиться в НМУ... всё равно непросто.

[vpb]

По поводу учебников. Ленг --- это трехсеместровый курс для аспирантов. Для студентов он не подходит. Если судить по Вашим
предыдущим постам, Вы еще обычным курсом не очень хорошо владеете ... а то и вообще странные вещи писали. Рекомендую
Кострикина и Винберга. По линейной алгебре --- Мальцев "Основы линейной алгебры" и Кострикин-Манин. (Я в свое время
Мальцева прочитал почти полностью, КМ --- наполовину. Это, строго говоря, не учебник, а учебное пособие, и довольно сложное.)
Также, возможно, вторая часть последнего издания Кострикина.

Еще несколько общих советов. (1) Читайте РАЗНЫЕ учебники и книжки, т.к. одни вещи в одних лучше изложены, другие в других.
И во всяком случае не ограничивайтесь конспектом. (2) Не стремитесь к чему-то очень высоконаучному, общеабстрактному,
решайте конкретные задачи, и побольше. Они дадут Вам большую пищу для размышлений. Есть сборник задач по алгебре под
редакцией Кострикина, там много задач. Попроще задачи --- в задачнике Проскурякова. (3) Кстати, иногда самое удачное
изложение обнаруживается в книгах совсем уж старомодных, скажем в Куроше. (4) Вы упоминали как-то книжку Городенцева.
Я ее скачал, посмотрел. Там автор слишком быстро переходит от одного сюжета к другому, и это, по-моему, усвоению не
способствует. Я отношусь к этой книжке скептически. (5) Наконец, не могу не упомянуть, что есть такой человек ---
Вербицкий... Я видел некоторые его учебные материалы в Интернете ... впечатление, прямо скажем, очень плохое.

[Duelist]

vpb
Спасибо за советы.

vpb в сообщении #1152867 писал(а):

Ленг --- это трехсеместровый курс для аспирантов. Для студентов он не подходит. Если судить по Вашим
предыдущим постам, Вы еще обычным курсом не очень хорошо владеете ... а то и вообще странные вещи писали.

Не претендую на владение обычным курсом... я его сейчас только осваиваю. Но не для того, чтобы в аспирантуре осваивать второй раз. По тому, что я знаю от других людей, аспиранты читают книги уровня Мамфорда, Серра, или Касселса-Фрёлиха и «Архив». Поэтому «Алгеброй» Ленга, кажется, надо овладеть пораньше. Тем более, Ленг + Винберг нормально читаются.

vpb в сообщении #1152867 писал(а):

Читайте РАЗНЫЕ учебники и книжки, т.к. одни вещи в одних лучше изложены, другие в других.

Да, иногда даже несколько страниц из какого-то учебника помогают.

vpb в сообщении #1152867 писал(а):

Есть сборник задач по алгебре под
редакцией Кострикина, там много задач.

Сейчас надо решать задачи из листков НМУ, с меня этого хватит (ну и плюс то, что "тривиально" или "оставляется в качестве упражнения читателю" в книгах). С самой методической концепцией решения конкретных задач, а не не только изучения общей теории согласен. Не моё - это изучение теории по задачам. Мне всегда хочется видеть общую картину и место каждого предмета (в широком смысле) в ней.

vpb в сообщении #1152867 писал(а):

Вы упоминали как-то книжку Городенцева.
Я ее скачал, посмотрел. Там автор слишком быстро переходит от одного сюжета к другому, и это, по-моему, усвоению не
способствует. Я отношусь к этой книжке скептически.

Я тоже это заметил. Систематически её не изучаю. Но что-то обособленно оттуда можно выдернуть. Вот мне резко понадобилась коммутативная алгебра, и Городенцев стал для меня одним из источников по этой теме (глава "Идеалы, факторкольца и разложение на множители"). Но не единственным.