Доказать неравенство.

[NL0]

Доказать, что при каждом $|x|< 1$ и $|y|<1$, выполняется неравенство:

$\dfrac{1}{1-x^2}+\dfrac{1}{1-y^2}\ge \dfrac{2}{1-xy}$.

Если $x$ и $y$ разных знаков, то правая часть меньше двух, а левая больше двух, потому неравенство выполняется.

Если $x$ и $y$ одного знака, то для определенности возьмем $|x|\le|y|$, тогда $x^2\le xy$ и $y^2\ge xy$.

Дальше есть идеи приводить к общему знаменателю, но мне кажется, что есть вариант попроще, но как?

[svv]

Другой вид Вашего неравенства:
$H(1-x^2, 1-y^2)\leqslant 1-xy$,
где $H$ — среднее гармоническое. Воспользуйтесь тем, что оно не превосходит среднего арифметического.

[NL0]

svv в сообщении #1151851 писал(а):

Другой вид Вашего неравенства:
$H(1-x^2, 1-y^2)\leqslant 1-xy$,
где $H$ — среднее гармоническое. Воспользуйтесь тем, что оно не превосходит среднего арифметического.

Спасибо, понятно.

$$H(1-x^2, 1-y^2)\leqslant \dfrac{1-x^2+1-y^2}{2}=1-\dfrac{x^2+y^2}{2}=1-\dfrac{(x+y)^2-2xy}{2}=1-xy-\dfrac{(x+y)^2}{2}\le 1-xy$$

[svv]

Да, почти правильно, за исключением знаков. То, что нужно, получится не из $1-\frac{(x+y)^2-2xy}{2}$, а из $1-\frac{(x-y)^2+2xy}{2}$.
Чтобы не писать всё время эти единицы и снизить вероятность запутаться в знаках, я бы оформил это как вспомогательное неравенство:
$\begin{array}{l}(x-y)^2\geqslant 0\\x^2+y^2\geqslant 2xy\\1-\frac{x^2+y^2}2\leqslant 1-xy\end{array}$

[arqady]

Кроме красот, которые предлагает svv, иногда помогает обычное раскрытие скобок.

[sergei1961]

Я бы предложил классическое неравенство о средних:

$$ LHS/2 \ge \frac{1}{\sqrt{1-x^2}\sqrt{1-y^2}} \ge \frac{1}{1-xy}. $$

Последнее очевидно. И кстати является примитивной формой знаменитого неравенства Ацеля.