Пронумеровать рациональные числа

[Sinoid]

Здравствуйте!

(Оффтоп)

Скажите, здесь команда \nicefrac работает?

В учебнике приведен один из способов нумерации положительных рац. чисел и предоставлено пронумеровать все рац. числа самому читателю. Я попробовал. Проверьте, пожалуйста, мое решение. Располагаем нумеруемые числа в такую таблицу:

$$\begin{matrix}\xymatrix{\dfrac{1}{1}\ar[d] & \dfrac{1}{(-1)}\ar[r] & \dfrac{1}{2}\ar[dl] & \dfrac{1}{(-2)}\ar[r] & \dfrac{1}{3}\ar[dl] & \dfrac{1}{(-3)}\ar[r] & \dfrac{1}{4}\ar[dl] & \dfrac{1}{(-4)}\ar[r] & \dfrac{1}{5}\ar[dl] & \dfrac{1}{(-5)}\ar[r] & \ar[dl]\ldots\\ \dfrac{(-1)}{1}\ar[ur] & \dfrac{(-1)}{(-1)}\ar[dl] & \dfrac{(-1)}{2}\ar[ur] & \dfrac{(-1)}{(-2)}\ar[dl] & \dfrac{(-1)}{3}\ar[ur] & \dfrac{(-1)}{(-3)}\ar[dl] & \dfrac{(-1)}{4}\ar[ur] & \dfrac{(-1)}{(-4)}\ar[dl] & \dfrac{(-1)}{5}\ar[ur] & \dfrac{(-1)}{(-5)}\ar[dl] & \ldots\\ \dfrac{2}{1}\ar[d] & \dfrac{2}{(-1)}\ar[ur] & \dfrac{2}{2}\ar[dl] & \dfrac{2}{(-2)}\ar[ur] & \dfrac{2}{3}\ar[dl] & \dfrac{2}{(-3)}\ar[ur] & \dfrac{2}{4}\ar[dl] & \dfrac{2}{(-4)}\ar[ur] & \dfrac{2}{5}\ar[dl] & \dfrac{2}{(-5)}\ar[ur] & \ar[dl]\ldots\\ \dfrac{(-2)}{1}\ar[ur] & \dfrac{(-2)}{(-1)}\ar[dl] & \dfrac{(-2)}{2}\ar[ur] & \dfrac{(-2)}{(-2)}\ar[dl] & \dfrac{(-2)}{3}\ar[ur] & \dfrac{(-2)}{(-3)}\ar[dl] & \dfrac{(-2)}{4}\ar[ur] & \dfrac{(-2)}{(-4)}\ar[dl] & \dfrac{(-2)}{5}\ar[ur] & \dfrac{(-2)}{(-5)}\ar[dl] & \ldots\\ \dfrac{3}{1}\ar[d] & \dfrac{3}{(-1)}\ar[ur] & \dfrac{3}{2}\ar[dl] & \dfrac{3}{(-2)}\ar[ur] & \dfrac{3}{3}\ar[dl] & \dfrac{3}{(-3)}\ar[ur] & \dfrac{3}{4}\ar[dl] & \dfrac{3}{(-4)}\ar[ur] & \dfrac{3}{5}\ar[dl]\ar[dl] & \dfrac{3}{(-5)}\ar[ur] & \ar[dl]\ldots\\ \dfrac{(-3)}{1}\ar[ur] & \dfrac{(-3)}{(-1)}\ar[dl] & \dfrac{(-3)}{2}\ar[ur] & \dfrac{(-3)}{(-2)}\ar[dl] & \dfrac{(-3)}{3}\ar[ur] & \dfrac{(-3)}{(-3)}\ar[dl] & \dfrac{(-3)}{4}\ar[ur] & \dfrac{(-3)}{(-4)}\ar[dl] & \dfrac{(-3)}{5}\ar[ur] & \dfrac{(-3)}{(-5)}\ar[dl] & \ldots\\ \dfrac{4}{1}\ar[d] & \dfrac{4}{(-1)}\ar[ur] & \dfrac{4}{2}\ar[dl] & \dfrac{4}{(-2)}\ar[ur] & \dfrac{4}{3}\ar[dl] & \dfrac{4}{(-3)}\ar[ur] & \dfrac{4}{4}\ar[dl] & \dfrac{4}{(-4)}\ar[ur] & \dfrac{4}{5}\ar[dl] & \dfrac{4}{(-5)}\ar[ur] & \ar[dl]\ldots\\ \dfrac{(-4)}{1}\ar[ur] & \dfrac{(-4)}{(-1)}\ar[dl] & \dfrac{(-4)}{2}\ar[ur] & \dfrac{(-4)}{(-2)}\ar[dl] & \dfrac{(-4)}{3}\ar[ur] & \dfrac{(-4)}{(-3)}\ar[dl] & \dfrac{(-4)}{4}\ar[ur] & \dfrac{(-4)}{(-4)}\ar[dl] & \dfrac{(-4)}{5}\ar[ur] & \dfrac{(-4)}{(-5)}\ar[dl] & \ldots\\ \dfrac{5}{1}\ar[d] & \dfrac{5}{(-1)}\ar[ur] & \dfrac{5}{2}\ar[dl] & \dfrac{5}{(-2)}\ar[ur] & \dfrac{5}{3}\ar[dl] & \dfrac{5}{(-3)}\ar[ur] & \dfrac{5}{4}\ar[dl] & \dfrac{5}{(-4)}\ar[ur] & \dfrac{5}{5}\ar[dl] & \dfrac{5}{(-5)}\ar[ur] & \ar[dl]\ldots\\ \dfrac{(-5)}{1}\ar[ur] & \dfrac{(-5)}{(-1)}\ar[r] & \dfrac{(-5)}{2}\ar[ur] & \dfrac{(-5)}{(-2)}\ar[r] & \dfrac{(-5)}{3}\ar[ur] & \dfrac{(-5)}{(-3)}\ar[r] & \dfrac{(-5)}{4}\ar[ur] & \dfrac{(-5)}{(-4)}\ar[r] & \dfrac{(-5)}{5}\ar[ur] & \dfrac{(-5)}{(-5)}\ar[r] & \ldots } \\ \hdotsfor{1} \end{matrix}$$

В эту таблицу не вошло единственное рац. число - 0. Т.к. количество не вошедших в таблицу рац. чисел конечно (1), то при нумерации их можно написать первыми. Итак, начинаю нумеровать, идя по стрелкам и повторно не записывая числа, равные уже записанным: $0,\,-1,\,\dfrac{1}{2},\,2,\,-2,\,-\dfrac{1}{2},\,\dfrac{1}{3},\,3,\,-3,\,-\dfrac{1}{3},\,\dfrac{1}{4},\ldots$. Скажите, пожалуйста, можно ли так расположить отрицательные числа?

[Aritaborian]

Sinoid в сообщении #1151188 писал(а):

Скажите, пожалуйста, можно ли так расположить отрицательные числа?

Можно проще: в таблицу отрицательные не включать, а в последовательности располагать каждое их них сразу после противоположного положительного. Таблица получится более компактной.

[arseniiv]

Более того, так можно обращаться и с числами из $(1;+\infty)\cap\mathbb Q$, и достаточно будет взять нумерацию только $(0;1)\cap\mathbb Q$ и поставить где-то отдельно вместе с нулём и единицу.

Заодно интересные примеры нумерации $\mathbb Q_{>0}$ — деревья Штерна—Броко и Калкина—Уилфа. У первого даже практические применения есть, про второе не в курсе, но они друг в друга переводятся (в англовики про оба неплохо написано).

[Sinoid]

Aritaborian в сообщении #1151190 писал(а):

Можно проще: в таблицу отрицательные не включать, а в последовательности располагать каждое их них сразу после противоположного положительного. Таблица получится более компактной.

Да, действительно, так проще. Спасибо.