Последовательные собственные делители

[Ktina]

Вася выписал в строку 100 последовательных чисел. Во второй строке под каждым числом он написал его собственный делитель. В третьей строке он под каждым числом из второй строки написал его собственный делитель и т.д., пока не получилось 1000 строк. Могло ли так быть, что в каждой строке написаны последовательные числа? (В. Франк)

Я думаю, решение надо начинать с конца.
Построим последнюю строчку:

$$2, 3, 4, \dots 101$$

Затем предпоследнюю:

$$101!+2,\quad 101!+3,\quad 101!+4,\quad \dots\quad 101!+101$$

Теперь предпредпоследнюю:

$$(101!+101)!+101!+2,\quad (101!+101)!+101!+3,\quad (101!+101)!+101!+4,\quad \dots\quad (101!+101)!+101!+101$$

Далее, каждая следующая строчка строится следующим образом: каждое число предыдущей строки складывается с факториалом наибольшего числа предыдущей строки.
Так мы будем поступать, пока не получим 1000 строк.

На правильном ли я пути?
Как оформить такое решение?
Пожалуйста, помогите решить.
Заранее спасибо!

[Shadow]

Конечно, если к каждому из последовательных натуральных чисел прибавить их НОК (некоторое общее кратное), то все будет в порядке.

[Ktina]

Shadow
Спасибо!